3. Zadatak

Dane su dvije kvadratne funkcije $f_1(x)$ i $f_2(x)$ . Funkcija $f_1(x)$ postiže najmanju vrijednost za $x=-1$ , a jedna nultočka joj je $x=3$ . Funkcija $f_2(x)$ postiže najveću vrijednost za $x=3$ , a jedna nultočka joj je $x=-1$ .

Odredi sve vrijednosti $x$ za koje umnožak $f_1(x)f_2(x)$ postiže najveću vrijednost.

Budući da su nultočke kvadratne funkcije simetrične s obzirom na tjeme, druga nultočka funkcije $f_1(x)$ je jednaka $-1-(3-(-1))=-5$ . Analogno, druga nultočka funkcije $f_2(x)$ je jednaka $3+(3-(-1))=7$ .

Prema tome, funkcije $f_1(x)$ i $f_2(x)$ imaju oblik

f_1(x)=a_1(x-3)(x+5),\qquad f_2(x)=a_2(x+1)(x-7),

za neke realne brojeve $a_1$ i $a_2$ različite od nule.

S obzirom na to da funkcija $f_1(x)$ postiže minimum, a $f_2(x)$ maksimum, mora vrijediti $a_1>0$ i $a_2<0$ .

Sada imamo:

\begin{aligned} f_1(x)f_2(x)&=a_1(x-3)(x+5)\cdot a_2(x+1)(x-7)\\ &=a_1a_2\bigl((x-3)(x+1)\bigr)\bigl((x+5)(x-7)\bigr)\\ &=a_1a_2(x^2-2x-3)(x^2-2x-35). \end{aligned}

Označimo $t=x^2-2x-3$ . Sada je umnožak funkcija $f_1(x)$ i $f_2(x)$ jednak $a_1a_2t(t-32)$ .

Funkcija $g(t)=a_1a_2t(t-32)$ je kvadratna s nultočkama u $t_1=0$ i $t_2=32$ , pa joj se tjeme nalazi u točki $t=16$ . Također, kako je $a_1a_2<0$ , funkcija $g(t)$ u tjemenu postiže maksimum.

Prema tome, tražena najveća vrijednost se postiže za $t=16$ , odnosno kada vrijedi

x^2-2x-3=16.

Dakle, točke u kojima se postiže maksimum umnoška funkcija $f_1(x)$ i $f_2(x)$ su rješenja kvadratne jednadžbe

x^2-2x-19=0,

odnosno $x_1=1+2\sqrt5$ i $x_2=1-2\sqrt5$ .

Napomena: Zadatak je moguće riješiti i uvodeći slične supstitucije za $t$ (npr. $t_1=x^2-2x$ , $t_2=x^2-2x-19$ , $t_3=x^2-2x-35$ ).