5. Zadatak
Kvadratna tablica popunjena je brojevima 1, 2, 3, …, 2009 tako da se u svakom retku i svakom stupcu pojavljuje svaki od tih brojeva. Ako je tablica simetrična u odnosu na jednu dijagonalu, onda se i na toj dijagonali pojavljuju svi brojevi 1, 2, 3, …, 2009. Dokaži!
Rješenje
Uočimo da se, zbog uvjeta zadatka, svaki od brojeva 1, 2, …, 2009 pojavljuje u tablici točno 2009 puta.
Zbog simetričnosti, svaki broj se pojavljuje jednako mnogo puta ispod i iznad uočene dijagonale, pa je broj pojavljivanja pojedinog broja izvan te dijagonale paran.
Stoga se svaki broj mora na promatranoj dijagonali pojaviti neparni broj puta. Zaključujemo da se svaki broj mora pojaviti na toj dijagonali bar jednom, a kako je brojeva jednako koliko i mjesta na dijagonali, svaki se od brojeva 1, 2, …, 2009 na njoj pojavljuje točno jednom.