1. Zadatak

Prvo rješenje.

Jednakost $\operatorname{ctg}(2\pi\cos^2(2\pi x))=0$ je ispunjena ako i samo ako vrijedi

$$2\pi\cos^2(2\pi x)=\frac\pi2+k\pi,\qquad\text{za neki }k\in\mathbb Z,$$

odnosno

$$\cos^2(2\pi x)=\frac14+\frac k2,\quad k\in\mathbb Z.\qquad(\ast)$$

Vrijednosti funkcije $\cos^2(2\pi x)$ su iz intervala $[0,1]$, pa $k$ može biti samo 0 ili 1.

Za $k=0$ dobivamo jednadžbu $\cos^2(2\pi x)=\dfrac14$, pa vrijedi $\cos(2\pi x)=\dfrac12$ ili $\cos(2\pi x)=-\dfrac12$. Rješenja jednadžbe $\cos(2\pi x)=\dfrac12$ su:

$$x\in\left\{\frac16+m\mid m\in\mathbb Z\right\}\cup\left\{\frac56+m\mid m\in\mathbb Z\right\},$$

a rješenja jednadžbe $\cos(2\pi x)=-\dfrac12$:

$$x\in\left\{\frac13+m\mid m\in\mathbb Z\right\}\cup\left\{\frac23+m\mid m\in\mathbb Z\right\}.$$

Do sada nađena rješenja se mogu zapisati i ovako:

$$x\in\left\{\frac16+\frac m2\mid m\in\mathbb Z\right\}\cup\left\{\frac13+\frac m2\mid m\in\mathbb Z\right\}.$$

Za $k=1$ dobivamo jednadžbu $\cos^2(2\pi x)=\dfrac34$, pa vrijedi $\cos(2\pi x)=\dfrac{\sqrt3}2$ ili $\cos(2\pi x)=-\dfrac{\sqrt3}2$. Rješenje jednadžbe $\cos(2\pi x)=\dfrac{\sqrt3}2$ su:

$$x\in\left\{\frac1{12}+m\mid m\in\mathbb Z\right\}\cup\left\{\frac{11}{12}+m\mid m\in\mathbb Z\right\},$$

a rješenja jednadžbe $\cos(2\pi x)=-\dfrac{\sqrt3}2$:

$$x\in\left\{\frac5{12}+m\mid m\in\mathbb Z\right\}\cup\left\{\frac7{12}+m\mid m\in\mathbb Z\right\},$$

Ta rješenja se mogu zapisati i ovako:

$$x\in\left\{\frac1{12}+\frac m2\mid m\in\mathbb Z\right\}\cup\left\{\frac5{12}+\frac m2\mid m\in\mathbb Z\right\}.$$

Skup svih rješenja dane jednadžbe možemo zapisati još jednostavnije:

$$x\in\left\{\frac1{12}+\frac m4\mid m\in\mathbb Z\right\}\cup\left\{\frac16+\frac m4\mid m\in\mathbb Z\right\}.$$

Drugo rješenje.

Jednakost $\operatorname{ctg}(2\pi\cos^2(2\pi x))=0$ je ispunjena ako i samo ako vrijedi

$$2\pi\cos^2(2\pi x)=\frac\pi2+k\pi,\qquad\text{za neki }k\in\mathbb Z,$$

odnosno

$$\cos^2(2\pi x)=\frac14+\frac k2,\quad k\in\mathbb Z.\qquad(\ast)$$

Jednadžba $(\ast)$ ekvivalentna je s $\cos(4\pi x)=k-\dfrac12$. Vrijednosti funkcije $\cos(4\pi x)$ su iz intervala $[-1,1]$, pa $k$ može biti samo 0 ili 1.

Za $k=0$ dobivamo jednadžbu $\cos(4\pi x)=-\dfrac12$ koja ima rješenja:

$$x\in\left\{\frac16+\frac m2\mid m\in\mathbb Z\right\}\cup\left\{\frac13+\frac m2\mid m\in\mathbb Z\right\}.$$

Za $k=1$ dobivamo jednadžbu $\cos(4\pi x)=\dfrac12$ koja ima rješenja:

$$x\in\left\{\frac1{12}+\frac m2\mid m\in\mathbb Z\right\}\cup\left\{\frac5{12}+\frac m2\mid m\in\mathbb Z\right\}.$$