4. Zadatak

Neka su $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ mjere kutova u trokutu $ABC$ kod vrhova $A$, $B$ i $C$, redom.

Prvo rješenje.

Budući da je $O$ središte opisane kružnice trokuta $ABC$, trokut $AOB$ je jednakokračan i vrijedi $\angle AOB=2\gamma$. Slijedi da je $\angle EAB=\angle OAB=90^\circ-\gamma$.

Kako je $\angle DAB=\frac\alpha2$, vrijedi

$$\angle EAD=90^\circ-\gamma-\frac\alpha2=\frac{\beta-\gamma}{2}.$$

Vrijedi $\angle ABE=90^\circ-\frac\alpha2$, iz čega slijedi

$$\angle EBD=\angle ABC-\angle ABE=\beta-90^\circ+\frac\alpha2=\frac{\beta-\gamma}{2}.$$

Budući da je $\angle EAD=\angle EBD$, slijedi da je $ABDE$ tetivan četverokut.

Drugo rješenje.

Budući da je $O$ središte opisane kružnice trokuta $ABC$, trokut $AOB$ je jednakokračan i vrijedi $\angle AOB=2\gamma$. Slijedi da je $\angle EAB=\angle OAB=90^\circ-\gamma$.

Kako je $\angle DAB=\frac\alpha2$, onda je $\angle ABE=90^\circ-\frac\alpha2$ i vrijedi

$$\angle AEB=180^\circ-\angle BAE-\angle ABE =180^\circ-(90^\circ-\gamma)-\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)=\frac\alpha2+\gamma.$$

Također, vrijedi

$$\angle ADB=180^\circ-\angle BAD-\angle ABD =180^\circ-\frac\alpha2-\beta=\frac\alpha2+\gamma.$$

Budući da je $\angle AEB=\angle ADB$, slijedi da je $ABDE$ tetivan četverokut.