1. Zadatak

Prvo rješenje.

Ako je $a=0$, onda je $p=0$ što nije moguće.

Ako je $a\ne0$, vidimo da $a$ dijeli $p(a-2)=pa-2p$, tj. $a$ dijeli $2p$.

Imamo sljedeće mogućnosti: $a\in\{\pm1,\pm2,\pm p,\pm2p\}$.

Traženi parovi $(a,b)$ su

$$\begin{gathered} (1,1-p),\quad (2,1),\quad (p,p-1),\quad (2p,p),\\ (-1,1+3p),\quad (-2,1+2p),\quad (-p,p+3),\quad (-2p,p+2). \end{gathered}$$

Napomena. Ako je $p>2$, broj rješenja je $8$, dok je za $p=2$ broj rješenja $6$ (neka se rješenja podudaraju).

Drugo rješenje.

Budući da je $p$ prost slijedi da $p$ dijeli $a$ ili $p$ dijeli $b-1$.

Ako $p$ dijeli $a$, neka je $a=pk$ za neki cijeli broj $k$. Tada je

$$p(pk-2)=pk(b-1),\qquad\text{tj.}\qquad pk-2=k(b-1).$$

Slijedi da $k$ dijeli 2, pa je $k=\pm1$ ili $k=\pm2$.

Dobivamo sljedeća rješenja $(a,b)$:

$$(p,p-1),\quad (-p,p+3),\quad (-2p,p+2),\quad (2p,p).$$

Ako $p$ dijeli $b-1$, neka je $b=p\ell+1$ za neki cijeli broj $\ell$. Tada je

$$p(a-2)=ap\ell,\qquad\text{tj.}\qquad a-2=a\ell.$$

Slijedi da $a$ dijeli 2, pa je $a=\pm1$ ili $a=\pm2$.

Dobivamo sljedeća rješenja $(a,b)$:

$$(1,1-p),\quad (-1,1+3p),\quad (2,1),\quad (-2,1+2p).$$