4. Zadatak

Jer je $AA_1$ simetrala kuta $\angle BAC$, točka $A_1$ je polovište luka $BC$ kružnice opisane trokutu $ABC$. Zbog toga, pravci $C_1A_1$ i $B_1A_1$ su simetrale kuteva $CC_1B$ i $CB_1B$. S obzirom da je riječ o kutevima nad lukom $BC$, kutevi $\angle CC_1B$, $\angle CAB$ i $\angle CB_1B$ su jednaki.

Posebno, vrijedi

$$\angle A_1C_1M=\frac{\angle CC_1B}{2}=\frac{\angle CAB}{2}=\angle BAA_1$$

zbog čega je četverokut $AC_1PM$ tetivan. Iz te tetivnosti slijedi da je

$$\angle C_1MP=\angle C_1AP,$$

a iz tetivnosti četverokuta $CABA_1$ slijedi

$$\angle C_1AB=\angle C_1CB.$$

Dobili smo

$$\angle C_1MP=\angle C_1CB$$

odakle slijedi da su $PM$ i $BC$ paralelni.

Na potpuno analogan način se dokazuje da su $QM$ i $BC$ paralelni.

Naposljetku, zaključujemo da su točke $P$, $M$ i $Q$ kolinearne te da su pravci $PQ$ i $BC$ paralelni.