1. Zadatak

Prvo rješenje.

Oduzmimo prve dvije jednadžbe. Slijedi $xy-yz=2z-2x$ odnosno $y(x-z)=-2(x-z)$, pa imamo dva slučaja.

1. $y=-2$. Tada iz druge jednadžbe slijedi $2x+2z=1$ odnosno $x+z=\frac12$, a iz treće jednadžbe slijedi $xz=-5$. Drugim riječima, $x$ i $z$ su rješenja kvadratne jednadžbe $t^2-\frac12t-5=0$. Rješenja te jednadžbe su $\frac52$ i $-2$, pa dobivamo rješenja $(x,y,z)=\left(\frac52,-2,-2\right)$ i $(x,y,z)=\left(-2,-2,\frac52\right)$.

2. $x=z$. Tada iz prve jednadžbe imamo $xy+1=2x$, a iz treće jednadžbe $x^2+1=2y$. Oduzimanjem tih dviju jednadžbi dobivamo $x(y-x)=-2(y-x)$, pa ponovno imamo dva slučaja:

   a) $x=-2$. Tada lako dobivamo $y=\frac52$ iz prve jednadžbe i dobivamo rješenje $(x,y,z)=\left(-2,\frac52,-2\right)$.

   b) $y=x$. Tada su sva tri broja jednaka i svaka jednadžba glasi $x^2+1=2x$ iz čega slijedi $x=1$, pa dobivamo rješenje $(x,y,z)=(1,1,1)$.

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju, oduzmimo bilo koji par zadanih jednadžbi. Slijedi da za svaki od brojeva $x,y,z$ vrijedi da je ili on jednak $-2$, ili su preostala dva broja jednaka.

Ako niti jedan od brojeva nije jednak $-2$, onda su svi jednaki i dobivamo jednadžbu $x^2+1=2x$, iz koje slijedi $(x,y,z)=(1,1,1)$.

Ako je neki od njih jednak $-2$, recimo $y$, promotrimo $x$ i $z$. Ako je $x\ne-2$, onda je $y=z=-2$ zbog prethodne primjedbe. Zaključujemo da su dva od tri broja jednaka $-2$. Recimo da su to $x$ i $y$. Tada iz prve jednadžbe dobivamo da je $z=\frac52$.

Dakle, ako su sva tri broja jednaka, dobivamo $(1,1,1)$ kao rješenje. Ako nisu, tada su dva od tri broja jednaka $-2$, a posljednji je jednak $\frac52$, te u ovom slučaju dobivamo tri rješenja

$$\left(-2,-2,\frac52\right),\quad \left(-2,\frac52,-2\right),\quad \left(\frac52,-2,-2\right).$$