3. Zadatak

Prvo rješenje.

Primijetimo da $n$ dijeli lijevu stranu jednadžbe, pa slijedi da $n$ dijeli $(n+8)^k$. Kako je $n+8\equiv8\pmod n$, onda $n$ dijeli i $8^k$. Dakle, $n$ je potencija broja $2$. Neka je $n=2^m$ za neki nenegativan cijeli broj $m$. Jednadžbu možemo zapisati kao

$$7\cdot2^{m\cdot2^m}-2^{3m}=(2^m+8)^k.$$

Ako je $m=0$, dobivamo jednadžbu $6=9^k$, što nema rješenja u skupu prirodnih brojeva.

Ako je $m=1$, dobivamo jednadžbu $20=10^k$, što nema rješenja u skupu prirodnih brojeva.

Ako je $m=2$, dobivamo jednadžbu $7\cdot2^8-2^6=12^k$, što je zadovoljeno za $k=3$. Dobivamo rješenje $(k,n)=(3,4)$.

Ako je $m=3$, dobivamo jednadžbu $7\cdot8^8-8^3=16^k$. Lijeva strana je djeljiva s $2^9$ i nije djeljiva s $2^{10}$. Desna strana je djeljiva s $2^{4k}$ i nije djeljiva s $2^{4k+1}$, pa je $4k=9$, što je nemoguće. Dakle, ni ta jednadžba nema rješenja u skupu prirodnih brojeva.

Ako je $m>3$, onda je $m\cdot2^m>3m$ i jednadžbu možemo zapisati na sljedeći način:

$$2^{3m}\cdot\left(7\cdot2^{m\cdot(2^m-3)}-1\right) =2^{3k}\cdot(2^{m-3}+1)^k.$$

Lijeva strana jednakosti je djeljiva s $2^{3m}$ i nije djeljiva s $2^{3m+1}$. Desna strana jednakosti je djeljiva s $2^{3k}$ i nije djeljiva s $2^{3k+1}$. Zaključujemo da je $k=m$ i dobivamo jednadžbu

$$7\cdot2^{m\cdot(2^m-3)}-1=(2^{m-3}+1)^m.$$

Lijeva strana jednakosti daje ostatak $3$ pri dijeljenju s $4$ jer je $7\cdot2^{m\cdot(2^m-3)}$ djeljivo s $4$. Za $m>4$ desna strana daje ostatak $1^m=1$ pri dijeljenju s $4$, a za $m=4$ je desna strana jednaka $3^4$, što također daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $4$. Zaključujemo da za $m>3$ nema rješenja.

Dakle, jedino rješenje je $(k,n)=(3,4)$.

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju dobijemo da vrijedi $n=2^m$, $m=k$, $m\ge4$ i jednadžbu

$$7\cdot2^{m\cdot2^m}-2^{3m}=(2^m+8)^m.$$

Kako je $m\ge4$, zaključujemo da je $2^{m\cdot2^m}\ge2^{16m}>2^{3m}$ pa je

$$7\cdot2^{m\cdot2^m}-2^{2m}>6\cdot2^{m\cdot2^m}>2^{m\cdot2^m}.$$

Također vrijedi

$$(2^m+8)^m<(2^{m+1})^m=2^{m(m+1)}.$$

Iz toga slijedi da mora vrijediti $m\cdot2^m<m(m+1)$, tj. $2^m<m+1$. Međutim, za svaki prirodan broj $m$ vrijedi $2^m\ge m+1$, što se može dokazati matematičkom indukcijom.

Dakle, jedino rješenje jednadžbe je $(k,n)=(3,4)$.