6. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz uvjeta zadatka slijedi

$$a^2-b^2=7b,$$

odnosno

$$(a-b)(a+b)=7b.$$

Budući da je $a>b$, imamo $a+b>2b$.

Iz toga slijedi da je

$$a-b=\frac{7b}{a+b}<\frac{7b}{2b}=3.5.$$

Dakle, $a\leq b+3$.

Ako je $a=b+1$, slijedi da je $(a-b)(a+b)=2b+1<7b$, što nas dovodi do kontradikcije.

Ako je $a=b+2$, slijedi da je $(a-b)(a+b)=4b+4=7b$, pa je $3b=4$, što nas dovodi do kontradikcije.

Ako je $a=b+3$, slijedi da je $(a-b)(a+b)=6b+9=7b$, odnosno $b=9$ i $a=12$.

Zaključujemo da je jedino rješenje $(a,b)=(12,9)$.

Drugo rješenje.

Najveći zajednički djelitelj brojeva $b$ i $b+7$ jednak je $1$ ili $7$.

Ako je najveći zajednički djelitelj od $b$ i $b+7$ jednak $1$, tada $b$ i $b+7$ moraju biti potpuni kvadrati.

Neka je $b=m^2$ i $b+7=n^2$ za neke prirodne brojeve $m$ i $n$. Tada je

$$7=n^2-m^2=(n+m)(n-m),$$

iz čega zaključujemo $n+m=7$, $n-m=1$. Dakle, $m=3$, $n=4$, odnosno $b=9$ i $a=12$.

Ako je najveći zajednički djelitelj od $b$ i $b+7$ jednak $7$, tada postoje prirodni brojevi $k$ i $\ell$ takvi da je $b=7k^2$ i $b+7=7\ell^2$.

Tada je $7=a^2-b^2=7\ell^2-7k^2$, odnosno $1=(\ell+k)(\ell-k)$. Zaključujemo da u ovom slučaju mora biti $k=0$, $\ell=1$ te $b=0$, što nas dovodi do kontradikcije.

Dakle, jedino rješenje je $(a,b)=(12,9)$.

Treće rješenje.

Kada je $b\geq2$, znamo da je

$$(b+2)^2=b^2+4b+4<b^2+7b<b^2+8b+16=(b+4)^2.$$

Kako je $b^2+7b=b(b+7)=a^2$, zaključujemo da je nužno $a=b+3$.

Kao u prvom rješenju, jedino rješenje za koje je $a=b+3$ je $(a,b)=(12,9)$.

Preostaje se uvjeriti da nema rješenja kada je $b=1$.

Doista, u tom slučaju je $b(b+7)=8$, što nije potpuni kvadrat.

Zaključujemo da je jedino rješenje $(a,b)=(12,9)$.