4. Zadatak

Tražimo sve prirodne brojeve $n$ takve da je $\frac{n^2+1}{n+13}$ cijeli broj. Budući da je

$$\frac{n^2+1}{n+13} =\frac{n^2-169+170}{n+13} =\frac{(n+13)(n-13)+170}{n+13} =n-13+\frac{170}{n+13},$$

zaključujemo da $n+13$ mora biti pozitivan djelitelj broja $170$.

Pozitivni djelitelji broja $170$ su i $1$, $2$, $5$, $10$, $17$, $34$, $85$ i $170$.

Budući da je $n+13\geq14$, zaključujemo da je $n+13\in\{17,34,85,170\}$.

Dakle, prirodni brojevi koji zadovoljavaju uvjet zadatka su $4$, $21$, $72$ i $157$.