8. Zadatak

Neka je $n^2-440$ kvadrat broja $k$, $k\in\mathbb N_0$.

Iz $n^2-440=k^2$ slijedi $(n-k)(n+k)=440$.

Kako je desna strana jednakosti paran broj, i produkt $(n-k)(n+k)$ mora biti paran, pa je bar jedan od brojeva $n-k$, $n+k$ paran. To je moguće jedino ako su $n$ i $k$ brojevi iste parnosti, a tada su oba broja $n-k$, $n+k$ parna.

Broj $440=2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot11$ može se prikazati kao produkt dvaju parnih brojeva na četiri načina: $440=2\cdot220=4\cdot110=10\cdot44=20\cdot22$.

Kako je $n-k\le n+k$, dobivamo četiri sustava:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad&n-k=2,&\qquad\text{c)}\quad&n-k=10\\ &n+k=220,&&n+k=44\\[1em] \text{b)}\quad&n-k=4,&\text{d)}\quad&n-k=20\\ &n+k=110,&&n+k=22 \end{aligned}$$

Iz tih sustava dobivamo sve tražene brojeve $n$: 111, 57, 27, 21.