3. Zadatak

Prvo rješenje

Uočimo da je

$$P(ABC)=P(AMC)+P(MABC),$$

stoga je dovoljno dokazati da je $P(AMC)=P(MABC)$.

Neka je $D$ sjecište pravca $BM$ i stranice $AC$.

Budući da je $|\angle DMC|=90^\circ=|\angle BMC|$, $|\angle BCM|=|\angle DCM|$ i $\overline{CM}$ zajednička stranica trokuta $DMC$ i $BMC$, zaključujemo (po K-S-K poučku) da su trokuti $DMC$ i $BMC$ sukladni.

Posebno je $P(DMC)=P(BMC)$.

Iz sukladnosti trokuta $DMC$ i $BMC$ slijedi da je $|DM|=|BM|$.

Budući da trokuti $DMA$ i $BMA$ imaju zajedničku visinu iz vrha $A$, te su im nasuprotne stranice jednake, slijedi da je $P(DMA)=P(BMA)$.

Konačno, vidimo da je

$$\begin{aligned} P(AMC)&=P(AMD)+P(DMC)\\ &=P(AMB)+P(BMC)\\ &=P(ABMC). \end{aligned}$$

Drugo rješenje

Neka je $D$ sjecište pravca $BM$ i stranice $AC$.

Kao u prvom rješenju pokažemo da je $|DM|=|BM|$.

Označimo nožišta iz $B$ i $M$ na stranicu $\overline{AC}$ redom s $N$ i $K$.

Kako je $P(ABC)=\frac12|BN||AC|$ i $P(AMC)=\frac12|MK||AC|$, dovoljno je pokazati da je $|BN|=2|MK|$.

Primijetimo da su trokuti $DMK$ i $DBN$ slični jer imaju zajednički kut pri vrhu $D$ i $\angle MKD=90^\circ=\angle BND$.

Konačno, zbog sličnosti trokuta $DMK$ i $DBN$ imamo

$$\frac{|BN|}{|MK|}=\frac{|BD|}{|MD|}=2,$$

što smo i trebali pokazati.

Treće rješenje

Označimo duljine stranica $|AC|$ i $|BC|$ redom s $b$ i $a$, te mjeru unutarnjeg kuta pri vrhu $C$ s $\gamma$. Sada je

$$P(ABC)=\frac{ab\cdot\sin\gamma}{2}.$$

Također,

$$P(AMC)=\frac{b\cdot|MC|\cdot\sin\frac\gamma2}{2}.$$

U pravokutnom trokutu $MBC$ vidimo da je

$$|MC|=a\cdot\cos\frac\gamma2.$$

Uvrštavanjem u formulu za površinu trokuta $AMC$ vidimo da je i korištenjem formule za sinus dvostrukog kuta, vidimo da je

$$P(AMC) =\frac{b\cdot a\cdot\cos\frac\gamma2\cdot\sin\frac\gamma2}{2} =\frac12\cdot\frac{ba\cdot\sin\gamma}{2} =\frac12\cdot P(ABC).$$

Napomena: U trećem rješenju primjenjuje se formula za sinus dvostrukoga kuta:

$$\sin2x=2\sin x\cos x.$$

Ta se formula može dokazati geometrijski. Neka su $D$ i $E$ redom nožišta okomica iz vrhova $A$ i $C$ u jednakokračnom trokutu $ABC$ za koji vrijedi $|AC|=|BC|=1$, te neka je $2x=|\angle ACB|$.

U pravokutnom trokutu $ADC$ vrijedi

$$|AD|=|AC|\cdot|\sin ACD|=\sin(2x).$$

Nadalje, u pravokutnom trokutu $AEC$ redom zaključujemo

$$|AE|=|AC|\cdot\sin|\angle ACE|=\sin x,$$ $$|CE|=|AC|\cdot\cos|\angle ACE|=\cos x.$$

Računanjem površine trokuta $ABC$ na dva različita načina dobivamo

$$\begin{aligned} P(ABC) &=\frac{|AB|\cdot|CE|}{2} =\frac{2|AE|\cdot|CE|}{2} =\sin x\cdot\cos x\\ &=\frac{|BC|\cdot|AD|}{2} =\frac12\sin(2x) \end{aligned}$$

iz čega slijedi $\sin2x=2\sin x\cos x$. Učenici ne moraju dokazivati tu formulu.