2. Zadatak

Oduzimanjem dviju jednadžbi dobivamo

$$a^2-b^2=bc-ac,$$

odnosno

$$(a-b)(a+b+c)=0.$$

Ova jednakost vrijedi samo ako je $a-b=0$ ili $a+b+c=0$.

Ako je $a-b=0$, odnosno $a=b$, iz prve jednadžbe znamo da je

$$1=a^2-bc=a(a-c).$$

Kako je umnožak dvaju cijelih brojeva jednak $1$ ako i samo ako su oba faktora jednaki $1$ ili $-1$, jedina cjelobrojna rješenja su $b=a=\pm1$, $c=0$.

Ako je $a+b+c=0$, odnosno $c=-a-b$, uvrštavanjem u prvu jednadžbu dobijemo

$$1=a^2-bc=a^2+b^2+ab,$$

odnosno

$$2=a^2+b^2+(a+b)^2.$$

Točno dva od $a^2$, $b^2$ i $(a+b)^2$ su jednaka $1$, a treći je jednak $0$.

Ovo nam daje još šest kandidata za rješenja:

$$(a,b,c)\in\{(1,-1,0),(-1,1,0),(1,0,-1),(-1,0,1),(0,1,-1),(0,-1,1)\}.$$

Provjerom se uvjerimo da su $(1,-1,0)$, $(-1,1,0)$, $(1,0,-1)$, $(-1,0,1)$, $(0,1,-1)$, $(0,-1,1)$, $(1,1,0)$ i $(-1,-1,0)$ zaista rješenja.