4. Zadatak

Prvo rješenje

Primijetimo da ako je jedan od brojeva $x$, $y$ ili $z$ jednak $0$, onda i preostala dva moraju biti jednaka $0$.

Pretpostavimo da niti jedan od $x$, $y$ i $z$ nije jednak $0$. Uzmemo li recipročnu vrijednost svake strane ovih jednakosti imamo

$$\frac{1+x^2}{2x^2}=\frac1y,\qquad \frac{1+y^2}{2y^2}=\frac1z,\qquad \frac{1+z^2}{2z^2}=\frac1x.$$

Sada zbrajanjem ovih jednakosti dobijemo

$$\frac{1+x^2}{2x^2}+\frac{1+y^2}{2y^2}+\frac{1+z^2}{2z^2} =\frac1y+\frac1z+\frac1x,$$

odnosno

$$\frac{1-2x+x^2}{2x^2}+\frac{1-2y+y^2}{2y^2}+\frac{1-2z+z^2}{2z^2}=0.$$

Faktorizacijom brojnika na lijevoj strani vidimo da je

$$\frac{(x-1)^2}{2x^2}+\frac{(y-1)^2}{2y^2}+\frac{(z-1)^2}{2z^2}=0.$$

Budući da su pribrojnici s lijeve strane nenegativni, svi moraju biti $0$, stoga za rješenje nužno vrijedi $x=y=z=1$.

Provjerom vidimo da $(0,0,0)$ i $(1,1,1)$ zaista jesu rješenja danog sustava.

Drugo rješenje

Primijetimo da ako je jedan od brojeva $x$, $y$ ili $z$ jednak $0$, onda i preostala dva moraju biti jednaka $0$.

Pretpostavimo sada da niti jedan od $x,y,z$ nije jednak $0$. Kako su izrazi s lijevih strana pozitivni, slijedi da su $x,y,z$ nužno pozitivni.

Primijetimo da je $2x\leq1+x^2$ jer je $0\leq(x-1)^2$.

Iz toga slijedi

$$y=x\cdot\frac{2x}{1+x^2}\leq x\cdot\frac{1+x^2}{1+x^2}=x.$$

Analogno imamo i $z\leq y$ i $x\leq z$, pa je nužno $x=y=z$. .

Dakle, vrijedi

$$\frac{2x^2}{1+x^2}=x,$$

odnosno

$$0=x^3-2x^2+x=x(x-1)^2,$$

pa je $x=y=z=1$.

Provjerom vidimo da $(0,0,0)$ i $(1,1,1)$ zaista jesu rješenja ovog sustava.