5. Zadatak

Prvo rješenje

Pretpostavimo da smo ploču uspjeli popločati. Obojimo sva polja ploče u neparnim stupcima crnom bojom, a polja u parnim stupcima bijelom bojom.

Primijetimo da svaka $1\times2$ pločica kojom popločavamo uvijek prekriva po jedno bijelo i jedno crno polje jer je postavljena tako da prekriva dva susjedna polja u istom retku.

Slično, svaka $3\times1$ pločica, budući da prekriva po tri uzastopna polja u istom stupcu, mora prekrivati ili tri crna ili tri bijela polja.

Označimo s $d$, $c$ i $b$ redom broj $1\times2$ pločica, crnih $3\times1$ pločica i bijelih $3\times1$ pločica.

Na ploči je $1014$ stupaca obojeno crnom bojom, a $1013$ bijelom bojom pa imamo ukupno $1014\cdot2027$ crnih polja i $1013\cdot2027$ bijelih.

S druge strane, broj crnih polja je $d+3c$, a broj bijelih polja je $d+3b$.

Stoga je

$$\begin{aligned} 2027&=1014\cdot2027-1013\cdot2027\\ &=(d+3c)-(d+3b)\\ &=3(c-b). \end{aligned}$$

Budući da $2027$ nije djeljiv s $3$, dolazimo do kontradikcije. Dakle, takvo popločavanje nije moguće.

Drugo rješenje

Nazovimo $1\times2$ pločice „domine”, a $3\times1$ pločice „tromine”.

Pretpostavimo da smo ploču uspjeli popločati.

Broj polja u svakom retku je neparan pa, budući da domine uvijek prekrivaju paran broj polja svakog retka, zaključujemo da je u svakom retku neparno mnogo polja prekriveno trominama.

Stoga je broj tromina čiji je gornji vrh u prvom retku neparan.

Tromine koje prekrivaju neko polje u drugom retku su one čiji je vrh u prvom ili drugom retku. Onih čiji je vrh u prvom retku je neparno, pa onih čiji je vrh u drugom retku mora biti parno kako bi ukupan broj tromina koje prekrivaju neko polje u drugom retku bio neparan.

Slično nastavljamo dalje. Tromine koje prekrivaju neko polje u trećem retku su one čiji je vrh u prvom (njih je neparan broj), drugom (njih je paran broj) ili trećem retku, pa onih čiji je vrh u trećem retku mora biti parno.

Tromine koje prekrivaju neko polje u četvrtom retku su one čiji je vrh u drugom, trećem ili četvrtom retku, pa onih čiji je vrh u četvrtom retku mora biti neparno.

redak u kojem je vrh	$1$	$2$	$3$	$4$	$\ldots$
broj tromina	neparan	paran	paran	neparan	$\ldots$

Induktivno zaključujemo da je broj tromina čiji je gornji vrh u $k$-tom retku (od vrha) neparan ako i samo ako $k$ daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$.

Zadnji redak sijeku samo tromine čiji je vrh u $2025$-om retku. Kako je $2025$ djeljiv s $3$, takvih tromina je parno pa dolazimo do kontradikcije. Dakle, takvo popločavanje nije moguće.