5. Zadatak

Vrijedi

$$a^5(bc-1)+b^5(ca-1)+c^5(ab-1)=abc(a^4+b^4+c^4)-(a^5+b^5+c^5),$$

a zbog uvjeta $abc=a+b+c$ dalje imamo

$$\begin{aligned} abc(a^4+b^4+c^4)-(a^5+b^5+c^5) &=(a+b+c)(a^4+b^4+c^4)-a^5-b^5-c^5\\ &=ab^4+ac^4+bc^4+ba^4+ca^4+cb^4. \end{aligned}$$

Primjenom A–G nejednakosti dobivamo

$$\begin{aligned} ab^4+ac^4+bc^4+ba^4+ca^4+cb^4 &\ge6\sqrt[6]{ab^4\cdot ac^4\cdot bc^4\cdot ba^4\cdot ca^4\cdot cb^4}\\ &=6\sqrt[6]{a^{10}b^{10}c^{10}}. \end{aligned}$$

Sada treba iskoristiti dani uvjet. Primjenom A–G nejednakosti na brojeve $a$, $b$, $c$ dobivamo

$$a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}.$$

Pa zbog uvjeta slijedi $abc\ge3\sqrt[3]{abc}$, odnosno $abc\ge3\sqrt3$. Dakle vrijedi

$$6\sqrt[6]{a^{10}b^{10}c^{10}}=6(abc)^{10/6}\ge6(3\sqrt3)^{5/3}=6\cdot9\sqrt3=54\sqrt3.$$

Time smo dokazali traženu nejednakost.