1. Zadatak

U trokutu vrijedi $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$, odnosno $\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)$, pa je $\cos\gamma=-\cos(\alpha+\beta)$. Zbog toga iz dane jednakosti redom slijedi

$$\begin{aligned} \cos(\alpha+\beta)+2\sin\alpha\sin\beta&=1,\\ \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+2\sin\alpha\sin\beta&=1,\\ \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta&=1,\\ \cos(\alpha-\beta)&=1. \end{aligned}$$

Posljednja jednakost vrijedi ako i samo ako je $\alpha-\beta=360^\circ\cdot k$, gdje je $k\in\mathbb Z$. Budući da su $\alpha$ i $\beta$ kutovi trokuta, mora biti $k=0$, odnosno $\alpha=\beta$. Time smo dokazali da je trokut jednakokračan.