4. Zadatak

Neka su $M$ i $N$ redom polovišta krakova $\overline{AD}$ i $\overline{BC}$. Kako točka $P$ leži na simetrali dužine $\overline{AD}$ koja prolazi kroz njezino polovište $M$, zaključujemo da je $\angle QMP=90^\circ$. Slično zaključujemo i da je $\angle QNP=90^\circ$. Kako su nad dužinom $\overline{PQ}$ kutovi pri vrhovima $M$ i $N$ pravi, po Talesovom poučku zaključujemo da je četverokut $QPNM$ tetivan. Zato je zbroj mjera nasuprotnih kutova tog četverokuta jednak $180^\circ$, odnosno $\angle QMN+\angle QPN=180^\circ$.

Kako je $\overline{MN}$ srednjica trapeza, ta je dužina paralelna s osnovicom $\overline{AB}$. Prema jednakosti kutova s paralelnim kracima, slijedi

$$\angle QDC+\angle QPC=\angle QMN+\angle QPN=180^\circ.$$

Dakle, zbroj mjera dva nasuprotna kuta četverokuta $QPCD$ je jednak $180^\circ$, pa je i taj četverokut tetivan. Zbog jednakosti obodnih kutova nad tetivom $\overline{QP}$ slijedi $\angle QDP=\angle QCP$.

Budući da točka $P$ leži na simetrali dužine $\overline{AD}$, jednako je udaljena od krajnjih točaka te dužine, pa je trokut $ADP$ jednakokračan. Kutovi uz osnovicu $\overline{AD}$ su jednaki, pa vrijedi $\angle DPA=180^\circ-2\angle ADP$. Analognim zaključivanjem za trokut $BCQ$ slijedi $\angle BQC=180^\circ-2\angle QCB$.

Konačno, dobivamo

$$\angle DPA=180^\circ-2\angle ADP=180^\circ-2\angle QDP=180^\circ-2\angle QCP=180^\circ-2\angle QCB=\angle BQC,$$

što je i trebalo dokazati.