3. Zadatak

Promotrimo polja stepenica koja se nalaze na dijagonali (najdesnija polja svakog retka). Nikoji od $111$ kvadrata na koje bi te stepenice bile podijeljene ne mogu pokriti dva polja dijagonale. Zato svaki kvadrat pokriva točno jedno polje dijagonale.

Promotrimo polje u kutu stepenica (najlijevije polje zadnjeg retka). Kao i sva ostala polja, mora biti dio jednog od $111$ kvadrata. Polje dijagonale i kutno polje mogu biti u istom kvadratu samo ako je se to dijagonalno polje nalazi na sredini dijagonale. Zato da bi kutno polje bilo pokriveno jednim kvadratom, to mora biti kvadrat dimenzija $56\times56$, koji dijeli originalnu ploču na dvije ploče koje su stepenice od $55$ redaka. Svaku od tih novodobivenih ploča potrebno je podijeliti na po $55$ kvadrata.

Kutna polja tih manjih ploča ponovno možemo pokriti samo kvadratom dimenzija $28\times28$ koji pokriva srednje dijagonalno polje tih ploča i dijeli svaku od ploča na po dvije nove ploče koje su stepenice od $27$ redaka. I te ploče možemo pokriti kvadratima samo ako je kutno polje pokriveno kvadratom dimenzija $14\times14$ koje dijeli ploče na stepenice od $13$ redaka, a te ploče samo ako je kutno polje pokriveno kvadratom dimenzija $7\times7$ koje dijeli ploče na stepenice od $6$ redaka.

Međutim, stepenice od $6$ redaka ne možemo podijeliti na $6$ kvadrata budući da nijedan kvadrat ne pokriva istodobno neko polje dijagonale i kutno polje (jer je na dijagonali paran broj polja).

Dolazimo do kontradikcije, stepenice se ne mogu podijeliti na $111$ kvadrata.