5. Zadatak

Za a) dio zadatka za funkciju koja se u nekom trenutku nalazi na ploči promotrimo njezinu vrijednost u $x=-1$. U svakom je koraku ta vrijednost cjelobrojna te naraste za $1$ ili padne za $1$, budući da su koeficijenti kvadratne funkcije $f$ cjelobrojni te se u svakom koraku jedan od koeficijenata poveća ili smanji za $1$.

Kako je na početku na ploči ta vrijednost $f(-1)=2024$ pozitivna, a na kraju $g(-1)=-2022$ negativna, te u svakom trenutku naraste ili padne za $1$, u nekom trenutku na ploči sigurno se nalazi kvadratna funkcija $h(x)=x^2+ax+b$ za koju vrijedi $h(-1)=0$. Ta funkcija $h$ ima cjelobrojne nultočke: jedna nultočka je $-1$, a prema Vièteovim formulama druga nultočka joj je $1-a$. Dakle, za a) dio zadatka, odgovor je da.

Za b) dio zadatka pronaći ćemo niz koraka koji vode od funkcije $f$ do funkcije $g$ takav da se ni u kojem trenutku na ploči ne nalazi funkcija s cjelobrojnim nultočkama.

Označimo s $p$ bilo koji prosti broj veći od $2024$. Napravit ćemo sljedeće tri grupe koraka. U prvoj grupi koraka naizmjenično povećavamo za $1$ konstantni član pa koeficijent uz $x$ sve dok od funkcije $f$ ne dođemo do funkcije $x^2+px+p$. U drugoj grupi koraka smanjujemo koeficijent uz $x$ dok ne dođemo do $x^2-px+p$. U trećoj grupi koraka naizmjenično povećavamo koeficijent uz $x$ pa smanjujemo konstantni član dok ne dođemo do funkcije $g$.

Dokažimo da se opisanim koracima na ploči nikad neće naći kvadratna funkcija s cjelobrojnim nultočkama. U prvoj grupi koraka na ploči će se uvijek nalaziti funkcija oblika $x^2+mx+m$ ili $x^2+mx+(m+1)$, za neki prirodan broj $m\geq2024$, a u trećoj grupi koraka na ploči će se nalaziti funkcija oblika $x^2-mx+m$ ili $x^2-mx+(m+1)$, za neki prirodan broj $m\geq2024$. Kada bi neka od kvadratnih funkcija imala cjelobrojne nultočke, neka od diskriminanti tih funkcija trebala bi biti potpun kvadrat. Diskriminante tih funkcija su oblika

$$D_1=m^2-4m,\qquad D_2=m^2-4(m+1).$$

Kako je $m\geq2024$, za njih vrijedi

$$(m-3)^2=m^2-6m+9<m^2-(4m+1)<m^2-4m<m^2-4m+4=(m-2)^2.$$

Dakle, nalaze se između dva uzastopna kvadrata prirodna broja, pa ne mogu biti potpuni kvadrati. Time smo dokazali da se u prvoj i trećoj grupi koraka na ploči neće nalaziti kvadratna funkcija s cjelobrojnim koeficijentima.

U drugoj grupi koraka na ploči će se uvijek nalaziti funkcija oblika $x^2+nx+p$, za neki $n\in\{-p,-p+1,\ldots,p-1,p\}$. Prema Vièteovim formulama umnožak njezinih nultočaka jednak je $p$. Da bi neka funkcija takvog oblika imala cjelobrojne nultočke $x_1$ i $x_2$, te nultočke bi nužno trebale biti $1$ i $p$ ili $-1$ i $-p$. Ponovno prema Vièteovim formulama, koeficijent uz $x$ može biti jednak $\pm(p+1)$. Kako je $|n|\leq p$, kvadratna funkcija koja će se pojaviti na ploči u drugoj grupi koraka također neće imati cjelobrojne nultočke.

Time smo pronašli niz koraka koji vode od funkcije $f$ do funkcije $g$ takav da se ni u kojem trenutku na ploči ne nalazi funkcija s cjelobrojnim nultočkama, pa je za b) dio zadatka odgovor ne.