6. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz $|AE|=|AB|$ i $|AB|:|AD|=2:3$ slijedi $|AE|:|ED|=2:1$. Trokuti $AEF$ i $DEF$ imaju jednake visine, pa slijedi $P(AEF)=2P(DEF)$. Budući da je

$$2P(DEF)=P(AEF)=P(CDEF)=P(DEF)+P(CDF),$$

slijedi da je $P(DEF)=P(CDF)$.

Neka je $|DE|=x$. Tada je $|DC|=2x$ i duljina visine iz vrha $F$ u trokutu $CDF$ je $3x$. Zato je

$$P(CDF)=\frac{2x\cdot3x}{2}=3x^2.$$

S druge strane imamo

$$P(DEF)=\frac{x\cdot|AF|}{2}.$$

Izjednačavanjem slijedi

$$\frac{x\cdot|AF|}{2}=P(DEF)=P(CDF)=3x^2,$$

odakle dobivamo $|AF|=6x$.

Sada imamo $|BF|=|AF|-|AB|=4x$ i $|AB|:|BF|=2x:4x=1:2$.

Drugo rješenje.

Označimo $|DE|=x$, $|BF|=y$. Budući da je $|AE|=|AB|$ i $|AB|:|AD|=2:3$, slijedi da je $|AB|=|AE|=2x$. Površina trokuta $AEF$ iznosi

$$P(AEF)=\frac{2x\cdot(2x+y)}{2}=x(2x+y).$$

Neka je točka $H$ takva da je $AFHD$ pravokutnik. Tada je površina četverokuta $DEFH$ zbroj površina četverokuta $CDEF$ i trokuta $CFH$.

Površina trokuta $CFH$ iznosi

$$P(CFH)=\frac{3x\cdot y}{2},$$

a površina trapeza $DEFH$ iznosi

$$P(DEFH)=\frac{x+3x}{2}\cdot(2x+y)=2x(2x+y).$$

Slijedi

$$P(CDEF)=P(DEFH)-P(CFH)=2x(2x+y)-\frac32xy.$$

Izjednačavanjem dobivamo

$$x(2x+y)=P(AEF)=P(CDEF)=4x^2+\frac12xy,$$

iz čega slijedi $y=4x$.

Dakle, $|AB|:|BF|=2x:4x=1:2$.

Treće rješenje.

Neka $EF$ siječe $BC$ u točki $G$. Označimo $|DE|=x$, $|BF|=y$ i $|BG|=z$. Budući da je $|AE|=|AB|$ i $|AB|:|AD|=2:3$, slijedi da je $|AB|=|AE|=2x$.

Pravokutni trokuti $AEF$ i $BGF$ su slični, pa vrijedi

$$\frac{z}{2x}=\frac{y}{2x+y},\qquad\text{tj.}\qquad z=\frac{2xy}{2x+y}.$$

Površina trokuta $AEF$ iznosi

$$P(AEF)=\frac{2x\cdot(2x+y)}{2}=x(2x+y).$$

Četverokut $CDEF$ možemo rastaviti na trapez $CDEG$ i trokut $CGF$. Tada je

$$P(CDEF)=\frac{x+3x-z}{2}\cdot2x+\frac{(3x-z)\cdot y}{2}.$$

Sređivanjem i uvrštavanjem dobivenog izraza za $z$, slijedi

$$P(CDEF)=4x^2+\frac32xy-\frac12z(2x+y)=4x^2+\frac12xy.$$

Izjednačavanjem dobivamo

$$2x^2+xy=P(AEF)=P(CDEF)=4x^2+\frac12xy,$$

odakle slijedi $y=4x$.

Dakle, $|AB|:|BF|=2x:4x=1:2$.