7. Zadatak

Ako je barem jedan od brojeva $a$ i $b$ paran, onda je izraz $a^3b-ab^3$ razlika dva parna broja. Ako su $a$ i $b$ oba neparni, onda je taj izraz razlika dva neparna broja. Dakle, broj $a^3b-ab^3$ je paran za bilo koje prirodne brojeve $a$ i $b$.

Ako među dana tri broja postoji jedan koji je djeljiv s $5$, onda možemo odabrati taj broj i bilo koji drugi broj iz trojke i zadani izraz će biti djeljiv s $5$. Zato možemo pretpostaviti da nijedan od dana tri broja nije djeljiv s $5$.

Uočimo da je

$$a^3b-ab^3=ab(a^2-b^2)=ab(a-b)(a+b).$$

Sve ostatke pri dijeljenju s $5$ (različite od $0$) možemo podijeliti u dvije grupe: $\{1,4\}$ i $\{2,3\}$. Budući da imamo tri broja, među njima (po Dirichletovom principu) moraju biti dva koji imaju ostatke iz iste grupe. Neka su to $a$ i $b$. Ako $a$ i $b$ daju isti ostatak, onda je $a-b$ djeljiv s $5$. Ako $a$ i $b$ daju različite ostatke, onda je $a+b$ djeljiv s $5$. U oba slučaja zaključujemo da je izraz $ab(a-b)(a+b)$ djeljiv s $5$.