5. Zadatak

Prvo rješenje.

Koristeći formulu za kvadrat binoma jednadžbe možemo zapisati na sljedeći način

$$x=y^2-4y\qquad\text{i}\qquad y=x^2-4x.$$

Oduzmemo li ove dvije jednadžbe, dobivamo

$$x-y=y^2-x^2-4y+4x.$$

Primijenimo li formulu za rastav kvadrata, dobivamo

$$x-y=(y-x)(y+x)-4(y-x).$$

Budući da je $x\ne y$, smijemo dijeliti s $x-y$ i dobivamo $x+y=3$.

Zbrojimo li jednadžbe $x=y^2-4y$ i $y=x^2-4x$, dobivamo

$$x+y=y^2-4y+x^2-4x,$$

tj.

$$x^2+y^2=5(x+y).$$

Zaključujemo da je $x^2+y^2=5\cdot3=15$.

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju pokažimo da je $x+y=3$.

Uvrstimo li $x=3-y$ u prvu jednadžbu, dobivamo $7-y=(y-2)^2$, tj.

$$y^2-3y-3=0.$$

Zbog simetrije sustava, analogno izvodimo

$$x^2-3x-3=0.$$

Zbrajanjem ovih jednadžbi dobivamo

$$x^2+y^2-3(x+y)-6=0,$$

tj.

$$x^2+y^2=3(x+y)+6=3\cdot3+6=15.$$

Službenim alternativnim završetkom, iz $x+y=3$ i činjenice da $x$ i $y$ zadovoljavaju jednadžbu $t^2-3t-3=0$, prema Vièteovim formulama zaključujemo $xy=-3$. Tada slijedi

$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=3^2+2\cdot3=15.$$

Ako se koriste rješenja kvadratne jednadžbe, dobiva se

$$x,y=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2},$$

pa je

$$x^2+y^2=\left(\frac{3+\sqrt{21}}{2}\right)^2+\left(\frac{3-\sqrt{21}}{2}\right)^2=15.$$