4. Zadatak

Prvo rješenje.

Kocka ima tri para nasuprotnih strana. Ako bismo u svakom paru imali po jednu bijelu i jednu crvenu stranu, onda bi se tri bijele strane sastajale u nekom vrhu kocke i ne bi vrijedio uvjet zadatka. Zato postoji točno jedan par nasuprotnih crvenih strana kocke i točno jedan par bijelih. Do na rotaciju, kocka izgleda kao na slici.

Tražene kockice su na bridovima u kojima se spajaju crvene i bijele strane. Takvih bridova ima $8$ i povezani su u jednu liniju. Na svakom bridu je $8$ kockica, i po dva brida imaju jednu zajedničku kockicu u vrhovima kocke. Dakle, ukupno je $64-8=56$ kockica obojano s obje boje.

Drugo rješenje.

Promotrimo gornji lijevi vrh prednje strane kocke. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da se u tom vrhu sastaju dvije bijele i jedna crvena strane kocke. Također, možemo pretpostaviti da je lijeva strana kocke crvena (te su prednja i gornja strana kocke bijele). Gornji desni vrh prednje strane kocke također mora imati barem jednu crvenu stranu. Zato desna strana kocke mora biti crvena. Stražnja i donja strana kocke moraju biti različite boje, pa kocka do na rotaciju izgleda kao na slici.

Tražene kockice su na bridovima u kojima se spajaju crvene i bijele strane. Imamo četiri horizontalna i četiri vertikalna brida. Na četiri horizontalna brida imamo $4\cdot8=32$ kockice, a na četiri vertikalna brida imamo još $4\cdot6=24$ kockice koje nisu na horizontalnim bridovima. Zato je ukupan broj traženih kockica $56$.

Treće rješenje.

Kao u prethodnom rješenju pokažemo da kocka do na rotaciju izgleda kao na slici.

Na lijevoj strani imamo $8+7+7=22$ tražene kockice. Analogno, na desnoj strani imamo $22$ tražene kockice. Na donjoj strani imamo $8+8=16$ traženih kockica. Dva puta smo brojali $4$ kockice koje su na dvije crvene strane (u vrhovima donje strane kocke). Zato je ukupan broj traženih kockica

$$22+22+16-4=56.$$