4. Zadatak

Baza piramide je jednakostranični trokut stranice duljine $a$. Polumjer njemu opisane kružnice je $R=\dfrac{a\sqrt3}3$. Visina piramide je

$$v=\sqrt{b^2-R^2}=\sqrt{1-\frac{a^2}3}.$$

Obujam te piramide je

$$V=\frac{a^2\sqrt3}4\cdot\frac v3=\frac16.$$

Odavde dobivamo jednadžbu

$$a^6-3a^4+4=0.$$

Očigledno $a^2=2$ zadovoljava ovu jednadžbu. Dijeljenjem jednadžbe s $a^2-2$ dobivamo jednadžbu $a^4-a^2-2=0$, koju zadovoljavaju $a^2=2$ i $a^2=-1$ (ovo nije moguće). Dakle jedina mogućnost je $a^2=2$.

Kut pri vrhu pobočke izračunat ćemo pomoću kosinusovog poučka:

$$\cos\varphi=\frac{b^2+b^2-a^2}{2b\cdot b}=1-\frac{a^2}{2b^2}=0,$$

ili sinusovog poučka:

$$\sin\frac\varphi2=\frac{a/2}b=\frac{\sqrt2}2.$$

Dakle, traženi kut je $\varphi=90^\circ$.