1. Zadatak

Prvo rješenje.

Kako su $x$, $y$ i $z$ uzastopni članovi aritmetičkog niza, postoji $t\in\mathbb{R}$ takav da je $x=y-t$ i $z=y+t$.

Uvjet da su $\cos^2x$, $\cos^2y$ i $\cos^2z$ uzastopni članovi aritmetičkog niza možemo zapisati u obliku

$$\cos^2x+\cos^2z=2\cos^2y.$$

Sada redom imamo

$$\begin{aligned} \cos^2(y-t)+\cos^2(y+t)&=2\cos^2y\\ (\cos y\cos t+\sin y\sin t)^2+(\cos y\cos t-\sin y\sin t)^2&=2\cos^2y\\ \cos^2y\cos^2t+2\sin y\cos y\sin t\cos t+\sin^2y\sin^2t{}&\\ \qquad+\cos^2y\cos^2t-2\sin y\cos y\sin t\cos t+\sin^2y\sin^2t&=2\cos^2y\\ \cos^2y\cos^2t+\sin^2y\sin^2t&=\cos^2y. \end{aligned}$$

odakle dalje slijedi

$$\begin{aligned} \sin^2y\sin^2t&=\cos^2y(1-\cos^2t)\\ \sin^2y\sin^2t&=\cos^2y\sin^2t\\ \sin^2t(\cos^2y-\sin^2y)&=0. \end{aligned}$$

Ovo je moguće jedino ako je $\sin t=0$ ili $\cos y=\pm\sin y$.

Ako je $\sin t=0$, onda je $t=k\pi$, za $k\in\mathbb{Z}$. No, tada je $x=y-k\pi$, $z=y+k\pi$ i stoga $\cos^2x=\cos^2z=\cos^2y$. Dakle, ovaj slučaj otpada.

Zato je $\cos y=\pm\sin y$, odnosno $\operatorname{tg}y=\pm1$. Konačno,

$$y\in\left\{\frac\pi4+k\cdot\frac\pi2\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.$$

Drugo rješenje.

Prema uvjetu zadatka je $x+z=2y$ i $\cos^2x+\cos^2z=2\cos^2y$, odakle je

$$\frac{1+\cos2x}{2}+\frac{1+\cos2z}{2}=1+\cos2y$$ $$\cos2x+\cos2z=2\cos2y$$ $$\cos(x+z)\cos(x-z)=\cos2y$$ $$\cos2y\cos(x-z)=\cos2y$$ $$\cos2y\bigl(1-\cos(x-z)\bigr)=0.$$

Ovo vrijedi ako je $\cos(x-z)=1$ ili $\cos2y=0$.

Ako je $\cos(x-z)=1$, onda je $x-z=2k\pi$. Tada je razlika niza $x$, $y$, $z$ jednaka $k\pi$, no tada je drugi niz konstantan, pa ova mogućnost otpada.

Ako je $\cos2y=0$, onda je $y=\frac14(2k+1)\pi$, za $k\in\mathbb{Z}$.