3. Zadatak

Prvi način:

Neka je $a$ prirodan broj za koji vrijedi $np+1=a^2$. Budući da je $a>1$, imamo

$$(a-1)(a+1)=np.$$

Budući da je $p$ prost broj, on dijeli $a-1$ ili $a+1$.

Ako $p\mid a-1$, postoji prirodan broj $k$ takav da je $a=kp+1$. Tada je

$$n=\frac{a^2-1}{p}=k^2p+2k,$$

pa slijedi

$$n+1=k^2p+2k+1=(k+1)^2+(p-1)k^2.$$

Budući da je $a>1$, vrijedi $k>0$, pa su $k+1$ i svih $p-1$ brojeva $k$ prirodni.

Ako $p\mid a+1$, postoji prirodan broj $k$ takav da je $a=kp-1$. Analogno dobivamo

$$n+1=(k-1)^2+(p-1)k^2.$$

U ovom slučaju je $k\ge2$: za $k=1$ imali bismo $a=p-1$ i $n=p-2$, što je u suprotnosti s $n\ge p-1$. Zato su i ovdje svi brojevi prirodni.

Drugi način:

Iz $np=(a-1)(a+1)$ slijedi da je jedan od brojeva $a-1$ i $a+1$ djeljiv s $p$.

Ako je $a-1$ djeljiv s $p$, brojevi $\frac{a-1}{p}$ i $\frac{a+p-1}{p}$ su prirodni. Tada je

$$n+1=\underbrace{\left(\frac{a-1}{p}\right)^2+\cdots+\left(\frac{a-1}{p}\right)^2}_{p-1\ \text{puta}}+\left(\frac{a+p-1}{p}\right)^2.$$

Doista,

$$\begin{aligned} (p-1)\left(\frac{a-1}{p}\right)^2+\left(\frac{a+p-1}{p}\right)^2 &=p\left(\frac{a-1}{p}\right)^2+2\frac{a-1}{p}+1\\ &=\frac{a^2-1}{p}+1=n+1. \end{aligned}$$

Ako je $a+1$ djeljiv s $p$, brojevi $\frac{a+1}{p}$ i $\frac{a-p+1}{p}$ su prirodni. (Broj $a+1-p$ nije nula zbog pretpostavke $n\ge p-1$.) U tom slučaju vrijedi

$$n+1=\underbrace{\left(\frac{a+1}{p}\right)^2+\cdots+\left(\frac{a+1}{p}\right)^2}_{p-1\ \text{puta}}+\left(\frac{a-p+1}{p}\right)^2.$$