4. Zadatak

Neka je $E$ sjecište simetrale dužine $AB$ i stranice $BC$. Označimo $\angle ABC=\beta$. Tada je

$$\angle ACB=180^\circ-3\beta.$$

Budući da se $E$ nalazi na simetrali dužine $AB$, vrijedi $|AE|=|BE|$. Stoga je $\angle BAE=\beta$ i $\angle EAC=\beta$.

Neka je $F$ druga točka presjeka pravca $AE$ i kružnice sa središtem u $C$ i polumjerom $|CA|$. Trokut $CAF$ je jednakokračan jer su $|CA|=|CF|$, pa je $\angle CFA=\beta$. Kako je $\angle CFA=\angle BAF$, slijedi $CF\parallel AB$.

Zato je $\angle BCF=\angle CBA=\beta$, pa je $CEF$ jednakokračan. Budući da je $|AD|=|BD|$, točka $D$ nalazi se na simetrali dužine $AB$, kao i točka $E$, pa je $DE\perp AB$. Kako je $CF\parallel AB$ i $E$ je jednako udaljen od $C$ i $F$, pravac $DE$ je simetrala dužine $CF$.

Slijedi $|DF|=|DC|=|CF|$, pa je trokut $DFC$ jednakostraničan. Konačno,

$$\angle DCB=60^\circ-\beta=\frac13(180^\circ-3\beta)=\frac13\angle ACB,$$

čime je tvrdnja dokazana.