2. Zadatak

U pravokutnom trokutu $ABC$ označimo s $E_i$ nožište okomice iz $D_i$ na stranicu $AC$, za sve $i=0,1,\ldots,2018$. Vrijedi $E_0=A$ i $E_{2018}=C$.

Budući da su pravci $D_iE_i$ paralelni s $BC$, prema Talesovom poučku o proporcionalnosti vrijedi

$$|E_0E_1|=|E_1E_2|=\cdots=|E_{2017}E_{2018}|.$$

Iz toga slijedi $|CE_i|=|AE_{2018-i}|$, za $i=1,\ldots,2017$.

Prema Pitagorinom poučku vrijedi

$$|CD_i|^2=|D_iE_i|^2+|CE_i|^2\quad\text{i}\quad|AD_i|^2=|D_iE_i|^2+|AE_i|^2.$$

Oduzimanjem dobivamo

$$|CD_i|^2-|AD_i|^2=|CE_i|^2-|AE_i|^2,\qquad i=1,\ldots,2017,$$

a isto vrijedi i za $i=0,2018$. Zbrajanjem svih jednakosti dobivamo

$$\begin{aligned} &|CD_0|^2+\cdots+|CD_{2018}|^2-|AD_0|^2-\cdots-|AD_{2018}|^2\\ ={}&|CE_0|^2+\cdots+|CE_{2018}|^2-|AE_0|^2-\cdots-|AE_{2018}|^2\\ ={}&(|CE_0|^2-|AE_{2018}|^2)+\cdots+(|CE_{2018}|^2-|AE_0|^2)=0. \end{aligned}$$

Budući da je $|AD_0|=0$, tvrdnja je dokazana.