3. Zadatak

Za realne brojeve $x_1,x_2,\ldots,x_{30}$ vrijedi

\begin{aligned} 20^3x_1+21^3x_2+\cdots+49^3x_{30}&=13,\\ 21^3x_1+22^3x_2+\cdots+50^3x_{30}&=1,\\ 22^3x_1+23^3x_2+\cdots+51^3x_{30}&=19. \end{aligned}

Koliko iznosi $21x_1+22x_2+\cdots+50x_{30}$ ?

Prvo rješenje.

Poznato je da za realne brojeve $a$ i $b$ vrijedi $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ . Ako je $a-b=1$ , tada vrijedi $a^3-b^3=a^2+ab+b^2$ . Zato oduzimanjem prve od druge jednadžbe dobivamo:

(21^2+21\cdot20+20^2)x_1+(22^2+22\cdot21+21^2)x_2+\cdots+(50^2+50\cdot49+49^2)x_{30}=-12.

Slično, oduzimanjem druge od treće jednadžbe dobivamo:

(22^2+22\cdot21+21^2)x_1+(23^2+23\cdot22+22^2)x_2+\cdots+(51^2+51\cdot50+50^2)x_{30}=18.

Primijetimo da za svaki realni broj $a$ vrijedi:

\bigl((a+1)^2+(a+1)\cdot a+a^2\bigr)-\bigl(a^2+a\cdot(a-1)+(a-1)^2\bigr)=6a.

Stoga oduzimanjem dviju prethodno dobivenih jednadžbi dobivamo:

6\cdot(21x_1+22x_2+\cdots+50x_{30})=30,

odakle je $21x_1+22x_2+\cdots+50x_{30}=5$ .

Drugo rješenje.

Poznato je da za realne brojeve $a$ i $b$ vrijedi $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ . Ako to iskoristimo za brojeve $a=c-1$ i $b=c+1$ (za neki realni broj $c$ ), dobivamo

\begin{aligned} (c-1)^3+(c+1)^3 &=2c\cdot\bigl((c-1)^2-(c-1)(c+1)+(c+1)^2\bigr)\\ &=2c\cdot(c^2-2c+1-c^2+1+c^2+2c+1)\\ &=2c\cdot(c^2+3)=2c^3+6c. \end{aligned}

Zato zbrajanjem prve i treće jednadžbe dobivamo

(2\cdot21^3+6\cdot21)x_1+(2\cdot22^3+6\cdot22)x_2+\cdots+(2\cdot50^3+6\cdot50)x_{30}=32.

Pomnožimo drugu jednadžbu s 2 i oduzmimo od prethodno dobivene. Slijedi

6\cdot(21x_1+22x_2+\cdots+50x_{30})=30,

što znači da je $21x_1+22x_2+\cdots+50x_{30}=5$ .