2. Zadatak
Izabela je sedam dana zaredom rješavala po jedan matematički test. Na svakom je testu ostvarila različit broj bodova – najmanje 91, a najviše 100. Nakon svakog testa prosjek njenih dotadašnjih rezultata bio je prirodan broj, a na sedmom testu je ostvarila 95 bodova.
Koliko je ukupno bodova Izabela ostvarila na svih sedam testova? Koliko je bodova ostvarila na šestom testu?
Prvo rješenje.
Prosjek bodova koje je Izabela ostvarila svih sedam dana je cijeli broj pa znamo da postoji neki prirodni broj takav da je Izabelin ukupni rezultat jednak .
Nadalje, svi rezultati su međusobno različiti pa je ukupan rezultat jednak barem
a najviše
Dakle, je jednak jednom od brojeva 94, 95, 96, 97.
Nadalje, Izabela je u prvih šest dana ostvarila bodova i taj broj je djeljiv sa 6. Jedina mogućnost je .
Zato je Izabela na svih sedam testova ukupno ostvarila bodova.
Neka je Izabela šesti dan ostvarila bodova. Tada je u prvih pet dana ostvarila bodova. Taj broj mora biti djeljiv brojem 5, a kako je broj 95 djeljiv s 5, zaključujemo da i broj mora biti djeljiv s 5.
Među brojevima 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99 i 100 jedino su 95 i 100 djeljivi s 5. Budući da je Izabela sedmi dan ostvarila 95 bodova, a svi rezultati su međusobno različiti, zaključujemo da je šesti dan ostvarila 100 bodova.
Drugo rješenje.
Umjesto zbroja rezultata svih sedam dana kao u prošlom rješenju, možemo promotriti i zbroj rezultata prvih šest dana koji iznosi , za neki prirodni broj .
Nadalje, svi rezultati su međusobno različiti pa je
Dakle, vrijedi da je broj jednak jednom od brojeva 94, 95, 96, 97.
Budući da je Izabela u svih sedam dana ostvarila bodova i taj broj je djeljiv sa 7, zaključujemo da je jedino moguće .
Sada nastavimo kao u prvom rješenju.