4. Zadatak

Neka je $\angle CAB=\alpha$, $\angle ABC=\beta$ te $\angle BCA=\gamma$. Nadalje, neka je točka $K$ sjecište dužina $AM$ i $CN$.

Primijetimo da je $\angle ANC=\beta+\frac{\alpha}{2}$ (jer je vanjski kut trokuta $BCN$).

Također je i $\angle AMC=\beta+\frac{\alpha}{2}$ (jer je vanjski kut trokuta $ABM$).

Dakle, vrijedi

$$\angle NAK=\angle MCK=\angle MAC=\frac{\alpha}{2},$$ $$\angle ANK=\angle CMK=\angle AMC=\beta+\frac{\alpha}{2}.$$

To znači da u trokutima $AKN$, $CKM$ i $ACM$ vrijedi da su mjere po dva kuta jednake. Posljedično su i mjere preostalih kutova tih trokuta jednake ($\angle AKN=\angle CKM=\angle ACM=\gamma$), pa prema K–K–K poučku o sličnosti zaključujemo da su trokuti $AKN$, $CKM$ i $ACM$ slični.

Iz sličnosti trokuta $AKN$ i $ACM$ dobivamo da je

$$\frac{|AM|}{|AN|}=\frac{|AC|}{|AK|},$$

odnosno $|AM|\cdot|AK|=|AC|\cdot|AN|$.

Iz sličnosti trokuta $CKM$ i $ACM$ slijedi

$$\frac{|AM|}{|MC|}=\frac{|MC|}{|KM|},$$

odnosno $|AM|\cdot|KM|=|MC|^2$.

Zbrajanjem dva dobivena identiteta i korištenjem činjenice $|AK|+|KM|=|AM|$ dobivamo da je

$$|AM|^2=|AC|\cdot|AN|+|MC|^2.$$

Napomena: Nakon uvođenja točke $K$ na više načina može se dokazati sličnost tri trokuta iz rješenja (primjerice direktno dokazujući da su mjere kutova $\angle AKN$ i $\angle CKM$ jednake $\gamma$).