5. Zadatak

Prvo rješenje.

Promotrimo pet brojeva pridruženih jednoj strani i četiri brida koja je omeđuju. Primijetimo da njihov zbroj može biti najmanje $-3$.

Naime, ako su svi brojevi pridruženi bridovima jednaki $-1$, tada je njihov umnožak 1, pa je zbroj jednak $-3$. Ako barem jedan od brojeva na bridovima nije jednak $-1$, tada je zbroj neparan broj veći od $-5$, dakle najmanje $-3$.

Neka je $s$ zbroj svih brojeva na stranama kocke, a $b$ zbroj svih brojeva na bridovima. Zanima nas najmanja vrijednost za $s+b$.

Promotrimo šest zbrojeva dobivenih zbrajanjem pet brojeva pridruženih jednoj strani i četiri brida koji je omeđuju.

U tom zbroju svaki broj pridružen stranama kocke pojavljuje se jednom, a svaki broj pridružen bridovima kocke pojavljuje se dvaput.

Dakle,

$$s+2b\geq6\cdot(-3)=-18.$$

Očito je $s\geq-6$, pa zaključujemo da je $2s+2b\geq-24$, odnosno da je $s+b\geq-12$.

Pokažimo još da je uistinu moguće postići da je $s+b=-12$.

Na kocki $ABCDEFGH$ pridružimo broj $-1$ bridovima $AB$, $GC$ i $EH$, a svim ostalim bridovima broj 1. Time je svakoj strani kocke pridružen broj $-1$, pa je ukupni zbroj zaista jednak $-12$.

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju, znamo da je moguće postići zbroj $-12$. Pokažimo da taj zbroj ne može biti manji.

Neka je $a$ broj brojeva pridruženih stranama i bridovima kocke koji su jednaki 1.

Ako je $a\geq3$, onda je zbroj svih 18 Martinovih brojeva barem $-12$. Ako želimo postići manji broj, nužno je $a\leq2$.

Ako je $a=0$, onda su svi brojevi pridruženi bridovima, a i svim stranama kocke jednaki $-1$. To je nemoguće jer je na svakoj strani umnožak brojeva na bridovima koji je omeđuju jednak 1.

Ako je $a=1$, onda je najviše jednom bridu kocke pridružen broj 1. Međutim, to onda znači da je barem na četiri strane kocke umnožak četiri broja pridružena bridovima koji je omeđuju jednak $(-1)^4=1$, što daje kontradikciju.

Ako je $a=2$, najprije vidimo da je barem jednom bridu kocke pridružen broj 1. U suprotnom je svim stranama kocke pridružen broj $(-1)^4=1$, što je kontradikcija jer broj 1 smije biti pridružen najviše dvjema stranama.

Ako je dvama bridovima kocke pridružen broj 1, onda je i barem dvjema stranama koje ti bridovi ne omeđuju također pridružen broj 1, što je kontradikcija.

Preostaje slučaj kada je točno jednom bridu i točno jednoj strani kocke pridružen broj 1. No, tada je svim stranama kocke koje ne omeđuje brid s vrijednosti 1 pridružen broj 1. Kako tih strana ima četiri, opet dobivamo kontradikciju.

Dakle, nemoguće je da imamo 0, 1 ili 2 broja jednaka 1, što znači da je traženi zbroj najmanje $-12$.

Napomena: Konstrukcija kojom postižemo zbroj $-12$ iz prvog rješenja jedinstvena je do na rotacije i simetrije kocke.