1. Zadatak

Prvo rješenje.

Promotrimo brojeve $\frac nd$ i $\frac nc$. To su također pozitivni djelitelji broja $n$ za koje vrijedi $\frac nd>\frac nc$. Sada je

$$\frac nd-\frac nc\ge1,$$

iz čega slijedi

$$c-d\ge\frac{dc}{n}>\frac{d^2}{n}.$$

Drugo rješenje.

Neka je $c=ma$ i $d=mb$, gdje su $m$, $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da su $a$ i $b$ relativno prosti. Kako $c\mid n$, vidimo da $m\mid n$ pa neka je $k$ takav da vrijedi $n=mk$. Trebamo dokazati da je

$$ma>mb+\frac{m^2b^2}{mk},\qquad\text{tj.}\qquad a>b+\frac{b^2}{k}.$$

Budući da su $c$ i $d$ djelitelji broja $n$, brojevi $a$ i $b$ dijele $k$, a zbog $c>d$ vrijedi da je $a>b$. Brojevi $a$ i $b$ su relativno prosti pa zaključujemo da $ab$ dijeli $k$. Zato je $k\ge ab>b^2$ i vrijedi

$$a\ge b+1=b+\frac{k}{k}>b+\frac{b^2}{k}.$$