3. Zadatak

Za točku $P$ unutar trokuta $ABC$ kažemo da je sjajna ako se iz nje može povući točno $27$ polupravaca koji sijeku stranice trokuta $ABC$ tako da je njima trokut podijeljen na $27$ manjih trokuta jednakih površina. Odredi broj svih sjajnih točaka trokuta $ABC$ .

Rješenje

Neka je $P$ sjajna točka trokuta $ABC$ i neka je, bez smanjenja općenitosti, površina trokuta $ABC$ jednaka $27$ . Najprije primijetimo da među $27$ povučenih polupravaca uvijek moraju biti polupravci $PA$ , $PB$ i $PC$ ; u suprotnom neće sva područja na koja je trokut $ABC$ podijeljen biti trokuti.

Svaki od $27$ manjih trokuta se nalazi u (ili je jednak) nekom od trokuta $PAB$ , $PBC$ , $PCA$ . Neka ih se u trokutu $PAB$ nalazi $m$ , a u trokutu $PBC$ njih $n$ . Brojevi $m$ i $n$ se nalaze u skupu $\{1,2,\ldots,25\}$ i za njih vrijedi $m+n\le26$ , u trokutu $PCA$ se nalazi $27-m-n$ manjih trokuta.

Promotrimo $m$ trokuta koji se nalaze unutar trokuta $PAB$ ; svi oni imaju površinu jednaku $1$ i zajedničku visinu koja je jednaka udaljenosti točke $P$ od $AB$ , neka je to $d_{AB}$ . Tih $m$ trokuta imaju sukladne stranice na koje je uočena visina okomita pa vidimo da su sve te sukladne stranice duljine $\frac1m|AB|$ , zaključujemo da je duljina $d_{AB}$ jedinstveno određena brojem $m$ . Preciznije,

d_{AB}=\frac{2m}{|AB|}.

Označimo li udaljenost točke $P$ od $BC$ s $d_{BC}$ , na isti način vidimo da je duljina $d_{BC}$ jedinstveno određena brojem $n$ .

Primijetimo da je $d_{AB}$ manje od udaljenosti točke $C$ od $AB$ , u suprotnom je površina trokuta $PAB$ barem jednaka površini trokuta $ABC$ , što je nemoguće. Na isti način zaključimo da je $d_{BC}$ manje od udaljenosti točke $A$ od $BC$ . Neka je $p$ pravac paralelan s $AB$ koji se nalazi između $AB$ i točke $C$ te je udaljen od $AB$ za $d_{AB}$ . Analogno, neka je pravac $q$ između $BC$ i $A$ udaljen od $BC$ za $d_{BC}$ . Točka $P$ se nalazi na presjeku pravaca $p$ i $q$ i ona je time jedinstveno određena.

Skica konstrukcije sjajne točke

Za ovakvu točku $P$ površina trokuta $PAB$ jednaka je $m$ , trokuta $PBC$ jednaka je $n$ , a površina trokuta $PCA$ jednaka je onda $27-m-n$ .

Pitanje zadatka je sada ekvivalentno pitanju na koliko načina možemo izabrati brojeve $m$ i $n$ . Za svaki $m\in\{1,2,\ldots,25\}$ , $n$ možemo odabrati na točno $26-m$ načina. Stoga je rješenje

\sum_{m=1}^{25}(26-m)=\frac{25\cdot26}{2}=325.