1. Zadatak

Kako je

$$-1\leq\cos\left(\frac{x+2y}{4}\right)\leq1,$$

slijedi

$$0\leq\cos^2\left(\frac{x+2y}{4}\right)\leq1,$$

odnosno lijeva strana početne jednadžbe manja je ili jednaka $2$.

S druge strane, prema A-G nejednakosti vrijedi

$$2^x+2^{-x}\geq2\sqrt{2^x\cdot2^{-x}}=2.$$

Kako bi se postigla jednakost u početnoj jednadžbi, obje strane jednakosti moraju biti jednake $2$.

Kako jednakost $2^x+2^{-x}=2$ vrijedi ako i samo ako je $2^x=2^{-x}$, odakle slijedi $x=-x$, odnosno $x=0$.

Uvrštavanjem dobivamo $2\cos^2\left(\frac{2y}{4}\right)=2$, odnosno $\cos^2\left(\frac y2\right)=1$. Slijedi

$$\frac y2=k\pi,\quad k\in\mathbb Z,\qquad\text{tj.}\qquad y=2k\pi,\ k\in\mathbb Z.$$

Prema tome, rješenja zadane jednadžbe su $(x,y)=(0,2k\pi)$, pri čemu je $k\in\mathbb Z$.