5. Zadatak

Najmanji broj preostalih dužina je $4$.

Promotrimo dužine koje izlaze iz nekog fiksnog vrha. Taj vrh krajnja je točka $7$ dužina. U svakom potezu u kojem je taj vrh odabran uklanjamo dvije dužine kojima je on krajnja točka. Stoga za svaki vrh vrijedi da će broj preostalih dužina kojima je taj vrh krajnja točka biti neparan.

U trenutku kada više nije moguće napraviti potez, svaki će vrh biti krajnja točka barem jedne dužine. To je moguće samo ako na kraju ostanu barem $4$ dužine.

Preostaje dokazati da je moguće odabrati $8$ poteza tako da na kraju ostanu točno $4$ dužine. Naime, nakon $8$ poteza obrisat ćemo $3\cdot8=24$ dužine, pa će na kraju preostati točno $\frac{7\cdot8}{2}-24=28-24=4$ dužine.

Označimo vrhove osmerokuta s $A_1,A_2,\ldots,A_8$. U $k$-tom potezu odabiremo trokut $A_kA_{k+1}A_{k+3}$ za $k=1,2,\ldots,8$, pri čemu indekse promatramo modulo $8$.

Vrhu $A_k$ u $k$-tom potezu obrisali smo dužine kojima je povezan s $A_{k+1}$ i $A_{k+3}$, u $(k-1)$-tom potezu obrisali smo dužine kojima je povezan s $A_{k-1}$ i $A_{k+2}$, a u $(k-3)$-tom potezu obrisali smo dužine kojima je povezan s $A_{k-2}$ i $A_{k-3}$. To su sve različite dužine, pa je ovaj niz poteza dopušten, te ovim nizom poteza na kraju zaista preostaju $4$ dužine.