2. Zadatak

Traženi izraz može biti jednak $4$ za $m=1$ i $n=6$.

Pretpostavimo da izraz može poprimiti neku manju vrijednost, odnosno da broj $A:=8\cdot5^m-n^2$ može poprimiti neku od sljedećih vrijednosti: $0$, $\pm1$, $\pm2$, $\pm3$.

Kada bi bilo $A=0$, tada bi moralo vrijediti $n^2=8\cdot5^n$, no potpun kvadrat ne može biti djeljiv s $8$, a ne sa $16$.

Promotrimo sada ostatke pri dijeljenju s $4$. Kako je broj $8\cdot5^n$ djeljiv s $4$, dok potpun kvadrat daje ostatke $0$ i $1$, zaključujemo da broj $A$ može dati ostatak $0$ ili $3$ pri dijeljenju s $4$. Dakle, da bi $|A|$ imalo vrijednost manju od $4$, moguće je samo da je $A=-1$ ili $A=3$.

Slično, promotrimo ostatke koje $A$ daje pri dijeljenju s $5$. Izraz $8\cdot5^n$ djeljiv je s $5$, dok potpun kvadrat daje ostatak $0$, $1$ ili $4$. Zato zaključujemo da je nemoguće da je $A=3$.

Preostalo je dokazati da ne postoje $m$ i $n$ takvi da je $A=-1$, odnosno da jednadžba

$$8\cdot5^m-n^2=-1$$

nema rješenja.

Prebacujući $n^2$ na drugu stranu i primjenom razlike kvadrata, dobivamo

$$8\cdot5^m=(n-1)(n+1).$$

Promotrimo faktore s desne strane. Najviše jedan od ta dva faktora može biti djeljiv s $5$, jer bi u suprotnom i njihova razlika $(n+1)-(n-1)=2$ trebala biti djeljiva s $5$, što nije istina.

Nadalje, kako je lijeva strana parna, mora biti i desna, što je moguće kada je $n$ neparan broj. Tada su faktori na desnoj strani dva uzastopna parna broja, pa jedan mora biti djeljiv s $2$, a drugi s $4$.

Zaključujemo da su ti faktori $(n-1)$ i $(n+1)$ jednaki $2$ i $4\cdot5^m$ ili $4$ i $2\cdot5^m$.

Također, faktor $n-1$ mora biti jednak manjem od mogućih faktora jer je manji od $n+1$. Zato je preostalo provjeriti dvije mogućnosti: $n-1=2$, $n+1=4\cdot5^m$, te $n-1=4$, $n+1=2\cdot5^m$.

U prvoj mogućnosti imamo $n=3$, odnosno $4=4\cdot5^m$ što nema prirodnih rješenja. U drugoj imamo $n=5$ i $6=2\cdot5^m$, što također nema prirodnih rješenja.

Time smo provjerili sve mogućnosti, te zaista dokazali da je najmanja vrijednost za izraz $|8\cdot5^m-n^2|$ jednaka $4$.