4. Zadatak

Smjestimo kvadrat u koordinatni sustav tako da su mu vrhovi $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,a)$ i $D(0,a)$ te neka je $P(-x,-y)$.

Formula za udaljenost proizvoljnih točaka $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$ glasi

$$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.$$

Njezinim korištenjem možemo izraziti uvjete zadatka na sljedeći način:

$$x^2+y^2=5,$$ $$x^2+(y+a)^2=20,$$ $$(x+a)^2+y^2=26.$$

Oduzimanjem prve jednakosti od druge i treće dobivamo

$$a^2+2ay=15,$$ $$a^2+2ax=21,$$

a njihovim oduzimanjem $6+2ay=2ax$. Tu jednadžbu skratimo s $2$, pa kvadriramo i dobijemo

$$9+6ay+a^2y^2=a^2x^2=a^2(5-y^2)=5a^2-a^2y^2.$$

U zadnju jednadžbu uvrstimo jednakost $a^2=15-2ay$, te uz $t=ay$ dobivamo

$$9+6t+t^2=5(15-2t)-t^2\implies t^2+8t-33=0.$$

Rješenja kvadratne jednadžbe su $t=3$ i $t=-11$.

Za $t=ay=-11$ iz $a^2+2ay=15$ dobivamo $a=\sqrt{37}$. Iz jednadžbi $a^2+2ay=15$ i $a^2+2ax=21$ sada slijedi

$$x=-\frac8{\sqrt{37}}\qquad\text{i}\qquad y=-\frac{11}{\sqrt{37}}.$$

U ovom slučaju točka $P$ nalazi se unutar kvadrata $ABCD$, što je u kontradikciji s uvjetima zadatka.

U slučaju $t=ay=3$ analogno dobivamo $a=3$, te $x=2$ i $y=1$. Direktnom provjerom vidimo da ova konfiguracija zadovoljava uvjete zadatka.

Dakle, duljina stranice kvadrata je $3$.

Napomena: Sustav iz gornjeg rješenja može se riješiti i na drugi način. Jednadžbe $a^2-15=2ay$ i $a^2-21=2ax$ kvadriramo i zbrojimo. Dobijemo

$$2a^4-72a^2+666=4a^2(x^2+y^2)=4a^2\cdot5=20a^2.$$

Odavde slijedi bikvadratna jednadžba

$$a^4-46a^2+333=0,$$

odakle dobivamo $a^2\in\{9,37\}$, odnosno zbog pozitivnosti broja $a$ slijedi $a\in\{3,\sqrt{37}\}$. Analizu dovršimo kao u prošlom rješenju.