2. Zadatak

Označimo s $d$ najveći zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$, te definirajmo

$$p=\frac ad,\qquad q=\frac bd.$$

Brojevi $p$ i $q$ su relativno prosti prirodni brojevi, te vrijedi

$$V(a,b)=V(pd,qd)=dV(p,q)=pqd.$$

Uvrstimo li ovaj zapis u gornju jednadžbu dobivamo

$$p^2d^2=4qd+3pqd,$$ $$p^2d=4q+3pq,$$ $$4q=p(pd-3q).$$

Iz zadnje jednakosti slijedi $p\mid4q$, a budući da su $p$ i $q$ relativno prosti zaključujemo da nužno vrijedi $p\mid4$. Odavde imamo tri slučaja: $p=1$, $p=2$ ili $p=4$.

Promotrimo prvi slučaj $p=1$. Uvrštavanjem dobivamo $d=7q$. Direktnom provjerom dobivamo da za svaki prirodan broj $q$, brojevi $a=7q$ i $b=7q^2$ zaista zadovoljavaju uvjet zadatka.

Ako je $p=2$, uvrštavanjem dobivamo $2d=5q$ odakle je $q$ paran. No, u tom slučaju su $p$ i $q$ parni, što je u kontradikciji s time da su $p$ i $q$ relativno prosti. Stoga zaključujemo da u ovom slučaju ne postoje takvi $a$ i $b$.

Ako je $p=4$, dobivamo $16d=16q$, odnosno $d=q$. Budući da su $p$ i $q$ relativno prosti, $q$ ne smije biti paran broj. Direktnom provjerom dobivamo da za svaki neparan prirodan broj $q$, brojevi $a=4q$ i $b=q^2$ zaista zadovoljavaju uvjet zadatka.

Konačno, sva rješenja $(a,b)$ početne jednadžbe su $(7q,7q^2)$, za proizvoljan prirodan broj $q$, te $(4q,q^2)$, za proizvoljan neparan prirodan broj $q$.