1. Zadatak

Prvo rješenje.

Izraz na lijevoj strani može se zapisati kao

$$\cos(2x)+2a\cos x+7=2\cos^2x-1+2a\cos x+7=2(\cos^2x+a\cos x+3).$$

U gornjem izrazu možemo uvesti supstituciju $t=\cos x$. Kako funkcija $\cos$ poprima vrijednosti između $-1$ i $1$, zaključujemo da zadatak postaje odrediti sve $a\in\mathbb R$ takve da vrijedi

$$t^2+at+3\geq 0,\qquad\text{za sve }t\in[-1,1].$$

Apscisa tjemena kvadratne funkcije je $t_0=-\frac a2$.

Promotrimo tri slučaja, u ovisnosti o poziciji tjemena u odnosu na $-1$ i $1$.

U prvom slučaju $t_0\in[-1,1]$, odnosno kada je $a\in[-2,2]$, kvadratna funkcija na intervalu $[-1,1]$ poprima minimum u tjemenu, pa je nenegativnost kvadratne funkcije na $[-1,1]$ ekvivalentna nenegativnosti kvadratne funkcije u $t_0$. Mora vrijediti

$$t_0^2+at_0+3\geq 0\iff -\frac{a^2}{4}+3\geq 0\iff a^2\leq 12,$$

što vrijedi za sve $a\in[-2,2]$.

U drugom slučaju $t_0<-1$ (odnosno $a>2$), kvadratna funkcija na intervalu $[-1,1]$ je rastuća, pa poprima minimum u lijevom rubu intervala. Zato mora vrijediti

$$0\leq(-1)^2+a(-1)+3=4-a,$$

odnosno $a\in(2,4]$.

U slučaju kada je $t_0>1$ (odnosno $a<-2$) analogno zaključujemo da funkcija na intervalu $[-1,1]$ poprima minimum u desnom rubu intervala, pa mora vrijediti

$$0\leq 1^2+a\cdot1+3=4+a,$$

odakle je $a\in[-4,-2)$.

Konačno, skup traženih realnih brojeva $a$ je interval

$$[-4,-2)\cup[-2,2]\cup(2,4]=[-4,4].$$

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju, zadatak se može svesti na određivanje svih $a\in\mathbb R$ takvih da vrijedi

$$t^2+at+3\geq0,\qquad\text{za sve }t\in[-1,1].$$

Budući da je vodeći koeficijent kvadratnog polinoma u nejednakosti pozitivan, dovoljno je naći sve $a\in\mathbb R$ takve da su nultočke jednadžbe

$$t^2+at+3=0$$

ili obje manje od ili jednake $-1$, ili obje veće od ili jednake $1$, ili da ta jednadžba nema realnih nultočaka.

Promotrimo prvo slučaj kada ova jednadžba nema realnih nultočaka. To je ekvivalentno tome da je njezina diskriminanta $a^2-12$ negativna, a to se postiže kada je $a\in(-2\sqrt3,2\sqrt3)$.

Sada promatramo slučaj kada su nultočke gornje jednadžbe realne i obje manje od ili jednake $-1$. Tada je diskriminanta kvadratne jednadžbe $a^2-12$ nenegativna, te je veće rješenje kvadratne jednadžbe

$$\frac{-a+\sqrt{a^2-12}}2$$

manje od ili jednako $-1$. Diskriminanta će biti nenegativna kada je $a\in(-\infty,-2\sqrt3]\cup[2\sqrt3,+\infty)$. Da bi veće rješenje bilo manje od ili jednako $-1$, treba vrijediti

$$\frac{-a+\sqrt{a^2-12}}2\leq-1\iff\sqrt{a^2-12}\leq a-2.$$

Lijeva strana nejednakosti nikada nije negativna, dok je desna negativna za $a<2$, i tada nejednakost ne može biti zadovoljena. Zato uzimamo u obzir samo $a\geq2$, te kvadriranjem nejednakosti dobivamo ekvivalentnu nejednakost

$$a^2-12\leq a^2-4a+4\iff4a\leq16\iff a\leq4.$$

Stoga je veće rješenje manje od ili jednako $-1$ kada je $a\in[2,4]$. Dakle, obje nultočke kvadratne jednadžbe su manje od ili jednake $-1$ kada je $a\in[2\sqrt3,4]$.

Analogno, obje nultočke kvadratne jednadžbe su veće od ili jednake $1$ kada je $a\in[-4,-2\sqrt3]$.

Konačno, skup traženih realnih brojeva $a$ je unija dobivenih intervala u ova tri slučaja te je jednak intervalu $[-4,4]$.