6. Zadatak

Točka $M$ je polovište stranice $\overline{AB}$ , a $T$ težište trokuta $ABC$ . Ako je $AMT$ jednakostraničan trokut stranice duljine $1$ , odredi duljine stranica trokuta $ABC$ .

Prvo rješenje.

Službeni geometrijski prikaz prvog rješenja

Budući da je $|MB|=|MA|=1$ , vrijedi $|AB|=2$ .

Nadalje, kako je $|AM|=|TM|=|BM|$ , slijedi da je $M$ središte kružnice opisane trokutu $ABT$ , pa je prema Talesovom poučku $\angle ATB=90^\circ$ . Zato iz Pitagorinog poučka slijedi

|BT|=\sqrt{|AB|^2-|AT|^2}=\sqrt{3}.

Neka su $K$ i $L$ redom polovišta stranica $BC$ i $CA$ . Budući da težište dijeli težišnicu u omjeru $2:1$ , slijedi

|TL|=\frac12|BT|=\frac{\sqrt3}{2}\qquad\text{i}\qquad|TK|=\frac12|AT|=\frac12.

Sada iz pravokutnih trokuta $BTK$ i $ATL$ dobivamo

|BK|=\sqrt{|BT|^2+|TK|^2}=\frac{\sqrt{13}}{2},

|AL|=\sqrt{|AT|^2+|TL|^2}=\frac{\sqrt7}{2},

odakle slijedi $|BC|=2|BK|=\sqrt{13}$ i $|AC|=2|AL|=\sqrt7$ .

Drugo rješenje.

Kao i u prethodnom rješenju zaključujemo $|AB|=2$ , te $|CM|=3|TM|=3$ .

Sada iz poučka o kosinusu primijenjenog na trokute $AMC$ i $BMC$ dobivamo

|AC|=\sqrt{|AM|^2+|CM|^2-2|AM|\cdot|CM|\cos\angle AMC} =\sqrt{1^2+3^2-6\cdot\frac12}=\sqrt7,

|BC|=\sqrt{|BM|^2+|CM|^2-2|BM|\cdot|CM|\cos\angle BMC} =\sqrt{1^2+3^2+6\cdot\frac12}=\sqrt{13}.