7. Zadatak

Promatrajući parnost izraza u jednadžbi, slijedi da je $b$ nužno paran broj.

Pretpostavimo prvo da je $a$ paran broj. Pogledajmo jednadžbu modulo $8$. Desna strana daje ostatak $4$ pri dijeljenju s $8$. S druge strane, kada bi oba broja $a$ i $b$ bila veća od ili jednaka $4$, tada bi lijeva strana bila djeljiva s $8$, čime dobivamo kontradikciju. Dakle, vrijedi $a\leq3$ ili $b\leq3$.

Budući da su $a$ i $b$ parni, treba provjeriti slučajeve $a=2$ i $b=2$.

1. Ako je $a=2$, jednadžbu svodimo na:

$$2^b-b^2+4=17\cdot16-2b^2+52,$$ $$2^b+b^2=320.$$

Za $b=8$ dobivamo jednakost i jedno rješenje $(a,b)=(2,8)$. Lijeva strana jednadžbe raste kako i $b$ raste, pa za sve $b$ različite od $8$ jednakost ne vrijedi te nemamo više rješenja.

2. Ako je $b=2$, jednadžbu svodimo na:

$$a^2-2^a+2^a=17a^4-2\cdot4+52,$$ $$17a^4-a^2+44=0.$$

Kako za sve prirodne brojeve $a$ vrijedi $a^4\geq a^2$, lijeva strana jednadžbe je očito strogo veća od nule, pa ova jednadžba nema prirodnih rješenja.

Pretpostavimo sada da je $a$ neparan broj. Ponovno gledamo jednadžbu modulo $8$. Kako kvadrat neparnog broja daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $8$, desna strana daje ostatak $5$. S druge strane, kada bi $a$ bio veći od ili jednak $3$, tada bi iz istog razloga lijeva strana dala ostatak $1$ pri dijeljenju s $8$, čime opet dobivamo kontradikciju. Dakle, vrijedi $a\leq2$.

Budući da je $a$ neparan, jedina mogućnost je $a=1$. Jednadžbu tada svodimo na:

$$1-b+2=17-2b^2+52,$$ $$2b^2-b-66=0,$$ $$(2b+11)(b-6)=0,$$

što nam daje rješenje $(a,b)=(1,6)$.

Konačno, svi traženi parovi $(a,b)$ su $(1,6)$ i $(2,8)$.