1. Zadatak

Uvrštavanjem $x=y=0$ u danu jednadžbu dobivamo

$$f(0)^2=0,\qquad\text{odnosno}\qquad f(0)=0.$$

Uvrštavanjem $x=y=1$ u danu jednadžbu dobivamo

$$f(1)(1+f(1))=2f(1),\qquad\text{odnosno}\qquad f(1)^2=f(1).$$

Razlikujemo dva slučaja: $f(1)=0$ ili $f(1)=1$.

Ako je $f(1)=0$, uvrštavanjem $x=1$ u početnu jednadžbu dobivamo da za svaki $y\in\mathbb R$ vrijedi

$$f(y)(1+f(y))=f(y),\qquad\text{tj.}\qquad f(y)=0.$$

Ako je $f(1)=1$, uvrštavanjem $y=1$ u početnu jednadžbu dobivamo da za svaki $x\in\mathbb R$ vrijedi

$$f(x)(x+1)=x^2+f(x),\qquad\text{odnosno}\qquad xf(x)=x^2.$$

Za $x\ne0$ dijeljenjem s $x$ dobivamo da je $f(x)=x$. Budući da je i $f(0)=0$, slijedi da je $f(x)=x$ za svaki $x\in\mathbb R$.

Uvrštavanjem vidimo da funkcije $f(x)=0$ i $f(x)=x$ zaista zadovoljavaju početnu jednadžbu te su to tražena rješenja.