3. Zadatak

Neka je $n=ad$. Uvjet $dn+1\mid d^2+n^2$ možemo zapisati kao $ad^2+1\mid d^2+a^2d^2$. Tada $ad^2+1$ dijeli i

$$d^2+a^2d^2-a\cdot(ad^2+1)=d^2-a.$$

Promotrimo mogućnosti za predznak broja $d^2-a$.

Ako je $d^2-a>0$, onda mora vrijediti i $d^2-a\ge ad^2+1$ (višekratnik mora biti velik barem kao djelitelj). Budući da je $a$ prirodan broj, slijedi da je $d^2\ge ad^2+a+1>d^2$, što je nemoguće.

Ako je $d^2-a<0$, onda je $a-d^2>0$. Tada mora biti $a-d^2\ge ad^2+1$. Budući da je $d$ prirodan, slijedi da je $a\ge ad^2+1+d^2>a$, što je također nemoguće.

Dakle, moguće je jedino da je $d^2-a=0$, odnosno $a=d^2$ i $n=d^3$. Tada zaista $d^4+1$ dijeli

$$d^2+d^6=d^2(d^4+1),$$

pa su svi traženi brojevi $n$ kubovi prirodnih brojeva.