1. Zadatak

Prvo rješenje.

Kako je $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ aritmetički niz, postoje brojevi $a$, $d$ takvi da je $a_n=a+(n-1)d$. Također, kako je $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ geometrijski niz, postoje brojevi $b$, $q$ takvi da je $b_n=bq^{n-1}$. Iz $a_1=b_1$ zaključujemo $a=b$.

Kako su $b_1$, $b_2$ i $b_3$ uzastopni članovi geometrijskog niza, vrijedi $b_1b_3=b_2^2$. Korištenjem uvjeta zadatka dobivamo

$$\begin{aligned} a(a+9d)&=(a+d)^2\\ a^2+9ad&=a^2+2ad+d^2\\ d(7a-d)&=0. \end{aligned}$$

Ako je $d=0$, tada je niz $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ konstantan. U tom slučaju bismo imali

$$b=b_1=a_1=a_2=b_2=bq,$$

odakle je $b=0$ ili $q=1$. U prvom slučaju članovi niza ne bi bili pozitivni, a u drugom slučaju je i $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ konstantan i jednak članovima niza $(a_n)_{n\in\mathbb N}$, pa je tvrdnja zadatka zadovoljena.

Inače imamo $d=7a$, pa za svaki $n\in\mathbb N$ vrijedi

$$a_n=a+(n-1)d=a+7(n-1)a.$$

Iz uvjeta $a_2=b_2$ i korištenjem $a=b$ slijedi $8a=aq$.

Ako je $a=0$, članovi niza $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ ne bi bili pozitivni. Zaključujemo da je nužno $q=8$, odnosno članovi niza $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ dani su s $b_n=a\cdot8^{n-1}$, $n\in\mathbb N$.

Brojevi oblika $8^{n-1}$ za sve $n\in\mathbb N$ daju ostatak $1$ pri dijeljenju sa $7$. Dakle, za svaki $n\in\mathbb N$ postoji $k\in\mathbb N_0$ takav da je $8^{n-1}=7k+1$. Posebno, to znači da je

$$b_n=a\cdot8^{n-1}=a(7k+1)=a_{k+1},$$

čime smo dokazali da se zaista svaki element niza $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ pojavljuje u nizu $(a_n)_{n\in\mathbb N}$.

Drugo rješenje.

Kao u prošlom rješenju, neka su $a$, $d$, $b$ i $q$ takvi da je $a_n=a+(n-1)d$ i $b_n=bq^{n-1}$, za sve $n\in\mathbb N$. Iz $a_1=b_1$ zaključujemo $a=b$.

Nadalje, iz preostala dva uvjeta zadatka dobivamo

$$\begin{aligned} a+d&=aq,\\ a+9d&=aq^2. \end{aligned}$$

Iz prve jednakosti dobivamo $d=a(q-1)$. Kad to uvrstimo u drugu jednakost dobivamo

$$a+9a(q-1)=aq^2.$$

Slučaj $a=0$ odbacujemo jer članovi niza $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ ne bi bili pozitivni. Dobivamo kvadratnu jednadžbu po $q$

$$q^2-9q+8=0$$

kojoj su rješenja $q=1$ i $q=8$.

Ako je $q=1$, svi brojevi $b_n$ jednaki su $a=a_1$, pa je tvrdnja zadatka zadovoljena.

Ako je $q=8$, dobivamo je $d=7a$.

Stoga je

$$a_n=a+7(n-1)a\quad\text{i}\quad b_n=8^{n-1}a\quad\text{za svaki }n\in\mathbb N.$$

Kao u prošlom rješenju, zaključujemo da se svi brojevi oblika $8^{n-1}a$ nalaze u nizu $(a_n)_{n\in\mathbb N}$.

Napomena: Za svaki $n\in\mathbb N$ moguće je i eksplicitno naći indeks $m$ takav da je $b_n=a_m$, ali to nije potrebno raditi u rješenju. Taj indeks je $m=\frac{8^{n-1}-1}{7}$.