2. Zadatak

Prvo rješenje.

Korištenjem zapisa $z=x+yi$, prva jednadžba postaje

$$\begin{aligned} (1+i)\cdot(x+yi)+(1-i)\cdot(x-yi)&=2a\\ x+xi+yi-y+x-xi-yi-y&=2a\\ 2x-2y&=2a\\ y&=x-a. \end{aligned}$$

Kvadriranjem druge jednadžbe sustava i uvrštavanjem $y$ preko $x$ i $a$, dobivamo ekvivalentan niz jednakosti

$$\begin{aligned} (x+1)^2+(y-1)^2&=2\\ (x+1)^2+(x-a-1)^2&=2\\ x^2+2x+1+x^2+a^2+1-2ax+2a-2x&=2\\ 2x^2-2xa+a^2+2a&=0. \end{aligned}$$

Dobivena jednadžba je kvadratna po $x$ s parametrom $a$. Početni sustav imat će jedno rješenje ako i samo ako i ova jednadžba ima jedno rješenje, a to je u slučaju kada je diskriminanta te kvadratne jednadžbe jednaka nuli:

$$\begin{aligned} 0=D&=(-2a)^2-4\cdot2\cdot(a^2+2a)\\ &=4a^2-8a^2-16a\\ &=-4a^2-16a\\ &=-4a(a+4). \end{aligned}$$

Zaključujemo da su tražene vrijednosti parametara $a=0$ i $a=-4$.

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju koristimo zapis $x+yi$ te zaključujemo da je prva jednadžba ekvivalentna s $y=x-a$.

Promotrimo dobivene uvjete u Gaussovoj ravnini. Točke koje zadovoljavaju jednadžbu $y=x-a$ leže na nekom pravcu paralelnom s $y=x$. Druga jednadžba sustava predstavlja kružnicu sa središtem u $z_0=-1+i$, odnosno točki $(-1,1)$ i radijusom $\sqrt2$.

Početni sustav imat će točno jedno rješenje ako i samo ako opisani pravac i kružnica imaju točno jednu zajedničku točku. To je moguće samo ako je pravac tangenta na kružnicu.

Točke dirališta pravaca paralelnih s $y=x$ leže na promjeru kružnice koji je okomit na taj pravac. Koeficijent smjera mu je jednak $-1$ te prolazi kroz središte $(-1,1)$, pa je zato jednadžba pravca na kojem leži taj promjer $y-1=-1(x+1)$, odnosno $y=-x$.

Točke $(0,0)$ (tj. $w_1=0+0i=0$) i $(-2,2)$ ($w_2=-2+2i$) očito leže na pravcu $y=-x$. Međutim, leže i na danoj kružnici, što vidimo direktnom provjerom:

$$\begin{aligned} |w_1+1-i|&=|1-i|=\sqrt2,\\ |w_2+1-i|&=|-1+i|=\sqrt2. \end{aligned}$$

Dakle, to su krajnje točke promjera okomitog na pravce oblika $y=x-a$, pa su to tražene točke dirališta.

Sada vrijednosti za $a$ dobivamo uzimanjem u obzir uvjeta da te točke leže na pravcu $y=x-a$. U slučaju točke $(0,0)$ dobivamo $0=0-a$, odnosno $a=0$. U slučaju točke $(-2,2)$ dobivamo $2=-2-a$, odnosno $a=-4$.

Zaključujemo da su tražene vrijednosti parametara $a=0$ i $a=-4$.