1. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz svojstva (i) slijedi da $P(x)$ možemo zapisati kao

$$P(x)=(x^2-1)Q(x)+(2x+1).$$

Budući da je $P(x)$ polinom trećeg stupnja, $Q(x)$ očito mora biti polinom prvog stupnja, tj. $Q(x)=ax+b$, pa slijedi

$$P(x)=(x^2-1)(ax+b)+(2x+1)=ax^3+bx^2+(2-a)x+(1-b).$$

Iz Vièteovih formula slijedi da je zbroj nultočaka polinoma jednak $-\frac ba$. Zato je $\frac ba=2$.

Iz svojstva (iii) slijedi da je $P(0)=3$, što nam uvrštavanjem u izraz za $P(x)$ daje $(1-b)=3$, odakle je $b=-2$.

Konačno, iz $\frac ba=2$ i $b=-2$ slijedi $a=-1$, pa je traženi polinom

$$P(x)=-x^3-2x^2+3x+3.$$

Drugo rješenje.

Neka je traženi polinom oblika $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.

Iz svojstva (i) slijedi da $P(x)$ možemo zapisati kao

$$P(x)=(x^2-1)Q(x)+(2x+1).$$

Uvrštavanjem $x=1$ i $x=-1$ u gornji izraz dobijemo

$$a+b+c+d=P(1)=2\cdot1+1=3,$$ $$-a+b-c+d=P(-1)=2\cdot(-1)+1=-1.$$

Iz Vièteovih formula slijedi da je zbroj nultočaka polinoma jednak $-\frac ba$. Zato je $\frac ba=2$.

Iz svojstva (iii) slijedi da je $P(0)=3$, tj. $d=3$.

Zbrajanjem jednadžbi $a+b+c+d=3$ i $-a+b-c+d=-1$ slijedi $2b+2d=2$, odakle zbog $d=3$ slijedi $b=-2$.

Sada iz $\frac ba=2$ slijedi $a=-1$.

Konačno, iz $a+b+c+d=3$ dobivamo $c=3$, pa je traženi polinom

$$P(x)=-x^3-2x^2+3x+3.$$