2. Zadatak

Uočimo da je rastav broja $a_0$ na proste faktore $a_0=2022=2\cdot3\cdot337$.

Indukcijom ćemo dokazati da za svaki $k\in\mathbb N_0$ vrijedi

$$a_{3k}=3^k\cdot a_0.$$

Baza indukcije za $k=0$ trivijalno je zadovoljena.

Pretpostavimo sad da za neki $k\in\mathbb N_0$ vrijedi $a_{3k}=3^k\cdot a_0$.

Najveći djelitelj parnog broja $2m$ manji od njega je $m$. Broj $a_{3k}$ je paran broj, pa je njegov najveći djelitelj manji od njega samoga jednak $3^k\cdot1011$. Slijedi

$$a_{3k+1}=3^k\cdot2022+3^k\cdot1011=3^k\cdot3033.$$

Najveći djelitelj neparnog broja oblika $3m$ koji je manji od tog broja iznosi $m$, pa slijedi da je najveći djelitelj broja $a_{3k+1}$ manji od njega također $3^k\cdot1011$. Zato je

$$a_{3k+2}=3^k\cdot3033+3^k\cdot1011=3^k\cdot4044.$$

Konačno, najveći djelitelj parnog broja $a_{3k+2}$ je $3^k\cdot2022$, pa je

$$a_{3k+3}=3^k\cdot4044+3^k\cdot2022 =3^k\cdot6066=3^{k+1}\cdot2022=3^{k+1}\cdot a_0.$$

Korak indukcije je dokazan, a time i tvrdnja indukcije.

Stoga je $a_{2022}=a_{3\cdot674}=3^{674}\cdot a_0=3^{674}\cdot2022$.