5. Zadatak

Budući da je $\angle LNC=\angle LKC=90^\circ$, zaključujemo da je četverokut $LNKC$ tetivan.

Iz teksta zadatka znamo da je četverokut $LNTM$ tetivan, pa promatrajući potenciju točke $P$ na te dvije kružnice dobivamo

$$|PT|\cdot|PM|=|PN|\cdot|PL|=|PC|\cdot|PK|.$$

Budući da težište dijeli težišnicu u omjeru $1:2$, posebno slijedi

$$\frac{|PT|}{|PC|}=\frac13,$$

odakle zajedno s prethodnom jednakošću slijedi $|PM|=3|PK|$.

U trokutu $ABM$, dužina $MP$ je njegova težišnica, a točka $K$ dijeli tu dužinu u omjeru $2:1$. Zaključujemo da je $K$ težište tog trokuta.

Zato težišnica iz vrha $A$ trokuta $ABM$ leži na pravcu $AK$, pa zato i taj pravac prolazi polovištem dužine $BM$, što je i trebalo dokazati.